Problema:Se dau sase numere de patru cifre al caror cel mai
mare divizor comun este 1. Aratati ca putem alege cinci dintre ele al
caror cel mai mare divizor comun este tot 1.

Imi puteti spune si mie de unde sa apuc problema asta? Multumesc anticipat!

[Citat] Problema:Se dau sase numere de patru cifre al caror cel mai mare divizor comun este 1. Aratati ca putem alege cinci dintre ele al caror cel mai mare divizor comun este tot 1. Imi puteti spune si mie de unde sa apuc problema asta? Multumesc anticipat!

Din pacate nu pot sa dau ideea fara sa dau si solutia.
Ca sa imi fie mai usor sa argumentez, relaxez putin problema si dau un enunt putin mai generos:


Se dau sase numere naturale de la unu la
N = 3*5*7*11*13 - 1 = 15014
al caror cel mai mare divizor comun este 1.

Aratati ca putem alege cinci dintre ele al caror cel mai mare divizor comun este tot 1.


Sa presupunem ca nu este asa si ca avem un contraexemplu cu numerele
a,b,c,d,e,f de la 1 la N-ul de mai sus.

Deoarece dand la o parte cate unul din numere avem mereu un divizor comun >1,
rezulta ca sunt adevarate propozitiile:

Exista un numar prim p care divide b,c,d,e,f.
Exista un numar prim q care divide a,c,d,e,f.
Exista un numar prim r care divide a,b,d,e,f.
Exista un numar prim s care divide a,b,d,e,f.
Exista un numar prim t care divide a,b,c,d,f.
Exista un numar prim u care divide a,b,c,d,e.

Desigur ca numerele prime p,q,r,s,t,u sunt diferite, altfel cele sase numere au un divizor comun.

Le ordonam. Fara a restrange generalitatea (dupa o renotare cu aceleasi litere) putem lua p<q<r<s<t<u .
Desigur ca atunci p este cel putin 2, q este cel putin 3, ...

Atunci numarul a se divide cu qrstu care este cel putin produsul numerelor
3,5,7,11,13, iar produsul acesta il depaseste pe N.
Contradictie. Gata.

Asa as putea demonstra o contradictie, ca unul din numerele de 4 cifre este multiplu al unui numar de 5 cifre, si deci numarul de 4 cifre ar fi mai mare sau egal cu numarul de 5 cifre, prin urmare numarul de 4 cifre ar avea cel putin 5 cifre-imposibil!!
Dar este de ajuns? Am folosit faptul ca unul din cele 6 numere este de 4 cifre, dar nu ar trebui cumva sa ma leg de faptul ca si celelalte numere sunt de 4 cifre?

[Citat] Asa as putea demonstra o contradictie, ca unul din numerele de 4 cifre este multiplu al unui numar de 5 cifre, si deci numarul de 4 cifre ar fi mai mare sau egal cu numarul de 5 cifre, prin urmare numarul de 4 cifre ar avea cel putin 5 cifre-imposibil!! Dar este de ajuns? Am folosit faptul ca unul din cele 6 numere este de 4 cifre, dar nu ar trebui cumva sa ma leg de faptul ca si celelalte numere sunt de 4 cifre?

A?i citit postarea precedent??

Domnule Dorim,

in ce mod am procedat gresit?

Eu sunt undeva la o mie de kilometrii de casa, raspund zilnic la probleme si presupun ca cei ce propun problemele au un simt etic corespunzator.
Este motivul pentru care insist in nenumarate randuri ca cei ce propun ceva sa precizeze sursa si ocazia... In fine, aceasta este o parte a lucrurilor.

Portalul viitoriolimpici.com este
in primul rand un portal care se termina in com,
in al doilea rand un portal de care aud acum prima oara
si in al treilea si ultimul rand pagina nu o gasesc.

Acum doresc sa scriu si eu cateva cuvinte despre liberatea si sensul din matematica.
Nu este vorba de a castiga o tabara,
este vorba de a castiga incredere in propriile forte si cunostinte care duc la stapanirea trecerii prin viata si la asigurarea existentei intr-o lume ostila in care o parte a pamantului lucreaza in cizme de cauciuc si cealalta are ziua de opt ore de munca cu asigurari sociale corespunzatoare.

Cu cativa ani in urma, pe aceasta pagina au fost postate solutii ale variantelor de bacalaureat, care in mod paralel "urmau sa fie rezolvate exemplar". Ei bine, mai multe carti tiparite si distribuite prin legile tiparirii si distribuirii au rezolvat aceste probleme "exemplar". Si bineinteles ca elevii au prezentat interes pentru multele variante doar pana in ziua de bacalaureat. (In anul urmator venira variante de "alta natura", iar elevii erau mai mult interesati de "natura" decat de matematica.)
In orice caz, unii elevi au pus intrebari aici si li s-a raspuns.

Utilizatorului Dodo ii recomand deja sa i se crape obrazul de rusine,
in primul rand nu deoarece a postat problema,
ci deoarece nu a precizat sursa si miza, dar asta este alta problema.
De ce?
Deoarece asa nu se traieste uman, chiar daca asa se traieste acum in mod vizibil pe toate strazile.
Deoarece exista legi in unele tari civilizate, care pot acuza pagina de fata de "furt intelectual". Nota de plata este piperata daca se ajunge la proces.

Dodo are insa mai departe propria lui decizie de a posta sau nu prin copiere sau prin intelegere pentru a "castiga o tabara". Eu ii recomand sa incerce cu orice mijloace sa ajunga in tabara, daca este o tabara de matematica, in timpul zilei sa scrie cat se poate de mult din cele ce vede pe tabla si serile nu cumva sa nu treaca prin discoteca improvizata. Nu stiu cum cauta ceilalti elevi solutia in mod cinstit, modul de fata mi se pare cinstit destul.

In orice caz, Dodo are sansa aici sa intrebe ceva matematic si i se va raspunde in aceeasi limba. Pana vine tabara, apoi nu va mai avea nevoie de aceasta problema. Insa pana atunci va putea sa intrebe o sumedenie de lucruri legate de problema de mai sus. Toti utilizatorii Dodo si Mimi si Sissi pot sa intrebe ce vor. Si mie imi este mai important sa ii las sa intrebe acum si aici, decat sa las o droaie de utilizatori sa caute in disperare.

Nu stiu unde se afla postarea initiala unde ati scris pana la ce termen nu am voie sa rezolv aceasta problema. Dumneavoastra solicitati mai multa atentie.
Nu este rau. Propun sa solicitati mai multi bani pentru o testare corespunzatoare a celor 10... sau 20... sau 30... care sunt prevazuti pentru tabara. Propun sa solicitati mai multe pdf-uri libere. Mai multe carti libere cu probleme libere care sa fie puse la o discutie libera.

In acest mod, din ce in ce mai putini elevi vor fi descurajati.

Iar daca doriti sa ne batem in comentarii, nici o problema, sunt foarte multe intrebari pe acest sit care necesita comentarii. Ele nu necesita restrictii.

Si virgula daca Dodo muta probleme de pe un portal pe altul trebuie sa ne gandim ce are un portal ce nu are celalat. Am trecut la acest ton de neintelegere, deoarece tonul de solicitare a depasit decibelii pe care pot sa-i suport.

[Citat] Asa as putea demonstra o contradictie, ca unul din numerele de 4 cifre este multiplu al unui numar de 5 cifre, si deci numarul de 4 cifre ar fi mai mare sau egal cu numarul de 5 cifre, prin urmare numarul de 4 cifre ar avea cel putin 5 cifre-imposibil!! Dar este de ajuns? Am folosit faptul ca unul din cele 6 numere este de 4 cifre, dar nu ar trebui cumva sa ma leg de faptul ca si celelalte numere sunt de 4 cifre?

Din pacate este mai bine daca nu raspund in detaliu cu propozitii periate la cele de mai sus. Dar ofer cu mare bucurie raspunsuri la orice intrebari cu raspunsul fie DA, fie NU.

Partea la care trebuie slefuita intelegerea este partea (de) logica.
Mai sus este o demonstratie pe care nu o sterg.
Trebuie inteles urmatorul mod de mers al lucrurilor, pe care il exemplific pe o alta problema fara legatura cu cea data.

Problema
Intr-o sala cu 10 politicieni, acestia prezinta ultimele statistici in acelasi timp si se cearta in acelasi timp in fata aceleiasi camere de luat vederea.
Fiecare din ei are aceeasi statistica si stie deci care din ceilalti falsifica datele in mod voit. Dar telespectatorii nu stiu cum stau apele.
Dupa prezentarea datelor, politicienii dau o conferinta de presa incercand sa se afirme mai departe. Presupunem ca ei raman constanti in ceea ce priveste spunerea adevarului. Cine a mintit, minte mai departe.

Fiecare dintre ei primeste printre altele intrebarea: Cati dintre politicienii care sunt de fata mint? Raspunsurile sunt:


Politicianul 1: Un politician minte.
Politicianul 2: 2 politicieni mint.
Politicianul 3: 3 politicieni mint.
Politicianul 4: 4 politicieni mint.
Politicianul 5: 5 politicieni mint.
Politicianul 6: 6 politicieni mint.
Politicianul 7: 7 politicieni mint.
Politicianul 8: 8 politicieni mint.
Politicianul 9: 9 politicieni mint.
Politicianul 10: 10 politicieni mint.

Caror politicieni putem sa le acordam incredere?

Solutia este simpla:
Raspunsurile sunt diferite, deci cel mult un politician spune adevarul.

Daca nici un politician nu spune adevarul, atunci toti 10 mint, deci al 10 spune adevarul. Deci (cel putin) unul din ei spune adevarul. Contradictie.

Aici fac o pauza si incerc sa arat care este rolul logicii (propozitionale).
Plecam de la un lucru (presupunere), folosim implicatii clare mereu in directia "inainte" pana cand ajungem la o situatie contradictorie. In acest moment strigam "Contradictie", deci presupunerea facuta este falsa, deci ...

Revin la problema.

Stim deja: Cel mult un politician spune adevarul.
Faptul ca nici unul nu spune adevarul conduce la o contradictie.
Deci exact un politician spune adevarul.

Pauza. Aici am dedus ceva direct, fara reducere la absurd. Mai departe.

Deci exact 9 politicieni mint.
Aceasta propozitie vine din gura celui de-al noualea politician, deci el spune adevarul. Trebuie sa ne adresam lui mai departe.

Recomand a se rezolva cateva dintre problemele lui Sam Lloyd de logica, anume prin scrierea pe hartie a solutiei inainte de toate, apoi prin compararea ei cu cea publicata.

In problema rezolvata mai sus trebuie de asemenea inteles firul logic,
cel mai bine prin pieptanarea argumentelor si a ordinii lor.
Intelegerea rolului argumentarii si a imbinarii argumentelor armonios este un lucru esential in viata. Matematica este mai usoara. Mult mai importante sunt pentru omul "de rand" recunoasterea lucrurilor care depind unele de altele cum depind ele de fapt, comunicarea cu parintii, prietenii, cu cei foarte apropiati, cu dusmanii (respectabili si cinstiti,dar dusmani buni). Organizarea intregii vieti si recunoasterea telurilor devin lucruri mai usoare, nu deoarece logica este inteleasa, ci deoarece luarea unei hotarari (care trebuie luata mai devreme sau mai tarziu) se ia cu constiinta impacata.

Acum la problema data, daca au ramas neclaritati: La ce intrebare pot raspunde cu DA sau NU?

Domnule Gauss, imi cer mii de scuze in cazul in care comentariul meu v-a deranjat intr-un fel sau altul si pentru faptul ca portalul este viitoriolimpici.ro. Va apreciez enorm de mult capacitatea fizica si intelectuala de a le raspunde utilizatorilor de pe acest forum la miile de intrebari! Si nu, nu am de ce sa va acuz ca ati gresit cu ceva, ci, din contra, pentru ca nu am nicio informatie asupra situatiei dvs.. Vinovatul este utilizatorul care a propus problema de 2 ori, deoarece sunt sigur ca stia ca nu este o fapta corecta. Iata motivul pentru care incurajez specificarea sursei de provenienta a problemei, pe orice forum specializat in domeniul matematicii. Prima postare a acestei problemei se afla aici:http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=35803(precizez ca si problema cu pavarea este de pe acelasi portal). Si nu, nu doresc sa ne batem in comentarii, ci, din contra, imi cer scuze din nou daca comentariul meu, nu scris cu scopul de a critiva, v-a deranjat!