ABCD este un paralelogram cu AD=3cm,AB=4cm, m(<DAB)=60grade.Pe laturile AB si CD in exterior sint construite triunghiurile echilaterale ABE si CBF.Calculati aria triunghiului DEF.

[Citat] ABCD este un paralelogram cu AD=3cm, AB=4cm, m(<DAB)=60grade. Pe laturile AB si CD in exterior sint construite triunghiurile echilaterale ABE si CBF. Calculati aria triunghiului DEF.

Sa notam
AD = BC cu x si
AB = CD cu y .
Avem x<y in problema.

Ducem din D paralela la AE.
Ducem din F paralela la AD (si BC).

Cele doua paralele se intersecteaza, notam cu M punctul de intersectie.
Obtinem ceva de forma

Mai sus au mai aparut punctele X si *,
pe care le notez tot cu X si * ca si in desen mai departe.
Sper ca este clar ca:

Aria(E*D) = Aria(AE*D) / 2 ,
Aria(EBF) = Aria(EBFM) / 2 ,
Aria(DXF) = Aria(DXFC) / 2 ,

si acum mai vedem ca pe partea stanga mai trebuie sa adunam

Aria(X*B)

ca sa dam de aria lui DEF.
Dam atunci de:

Aria(DEF)
=
Aria(E*D) +
Aria(EBF) +
Aria(DXF) +
Aria(X*B)
=
Aria(AE*D) / 2 +
Aria(EBFM) / 2 +
Aria(DXFC) / 2 +
Aria(X*B)
=
3 Aria(AE*D) / 2 + Aria(X*B) .

Paralelogramul AE*D poate fi vazut cu baza y si cu inaltimea la fel de mare ca cea a triunghiului echilateral EM* de latura x .

Triunghiul X*B are latura y-x.

De aici sper ca problema s-a dezamorsat complet.

In trapezul isoscel AFCD se obtine DC=4 cm.
Triunghiurile DAE, FBE si FCD sunt congruente (LUL) avand cate doua laturi de 3, respectiv 4 cm si unghiul dintre ele de 120 grade. Deducem ca triunghiul DEF este echilateral. Ii calculam latura din triunghiul GEF (unde G este proiectia lui E pe AB) si obtinem

Aria ceruta este deci

[Citat] ABCD este un paralelogram cu AD=3cm, AB=4cm, m(<DAB)=60grade. Pe laturile AB si CD, in exterior, sint construite triunghiurile echilaterale ABE si CDF. Calculati aria triunghiului DEF.

Multumesc mult, Edy!
Ochii nu ma mai ajuta. (Si asa a trebuit sa reformatez paginarea ca sa vad ce se da si ce se cere.)
Copiii astia nu inteleg ce inseamna problema cu vederea... Este foarte greu de tinut minte ca dupa un semn de punctuatie (este bine / politicos daca) vine un spatiu gol. NU le doresc sa trimita asa si primele cereri de incadrare.

Se pare ca avem de rezolvat (si) problema "cealalta":

[Citat] ABCD este un paralelogram cu AD = 3cm, AB = 4cm, m(<DAB) = 60grade. Pe laturile AB si CD in exterior sint construite triunghiurile echilaterale ABE si CDF. Calculati aria triunghiului DEF.

Sa notam din nou AD = BC cu x si AB = CD cu y .
Avem x<y in problema.

Poza e atunci cam asa:

Ne uitam la triunghiul DFE ca la un triunghi cu baza DF si inaltimea... distanta de la E la dreapta DF.
Ei bine, triunghiul CDF are atunci fata de aceeasi baza DF aceeasi inaltime.

Deci Aria(DEF) = Aria(CDF) = aria triunghiului echilateral de latura y.
(Rezultatul nu mai depinde de x deloc.)

[Citat] Pe laturile AB si CD in exterior sint construite triunghiurile echilaterale ABE si CBF.

Nu este vorba de triunghiul CBF?

!?

Posibil (probabil !) ca avem o eroare de scriere.

[Citat] ABCD este un paralelogram cu AD=3cm, AB=4cm, m(<DAB)=60grade. Pe laturile AB si CD, in exterior, sint construite triunghiurile echilaterale ABE si CDF. Calculati aria triunghiului DEF.

Se deseneaz? paralelogramul ABCD, cu A in dreapta jos.

Se construesc CDF si ABE echilaterale.

Prime descoperiri : coliniaritatea A, D, F si coliniaritatea C, B, E.

Ducem DE si EF.

Observ?m triunghiurile AEF ?i AED, cu unghiul A comun :

Observa?ia f?cut? de gauss, mai sus, este deosebit? !

Practic, triunghiul DEF este echivalent cu triunghiul DCF (echilateral).

Punctul E s-ar putea plasa (cam) oriunde pe BC.

In aceste conditii, ar fi interesant sa se ceara (numai) valoarea unei functii trigonometrice a unghiului FAE.

[Citat] ABCD este un paralelogram cu AD=3cm,AB=4cm, m(<DAB)=60grade.Pe laturile AB si CD in exterior sint construite triunghiurile echilaterale ABE si CBF.Calculati aria triunghiului DEF.

Valentinka2011 , daca tot ai cerut ajutorul, precizeaza daca ai scris enuntul corect!

Uploaded with ImageShack.us

Am o mare rugaminte,
deoarece deja am ajuns de rusine cu pozele de "arta ASCII" din secolul trecut.

Cu ce program / soft a fost facuta poza de mai sus?

Multumesc!