Intr-un triunghi ABC, cunoastem m(A)=

si inaltimea AD=R/2. Aflati m(B) si m(C).

[Citat]

Deoarece masura unghiului A este de 60 de grade, latura BC este plasata undeva drept coarda in cerc, coarda ce se opune unghiului de 60 de grade din A.
Ese clar ca lungimea acestei coarde este determinata (in functie de R) si ca pentru a o "afla" ne putem ajuta cu triunghiul echilateral AMN inscris in acelasi cerc.

Putem determina MN, dar si mai repede putem determina distanta de la MN la centru cercului. Aceasta este... R/2, deoarece inaltimea AP (notatie implicita) din A in AMN trece prin O, este mediana in particular, centrul O al cercului si cel de greutate al triunghiului o imparte in raportul AO : OP = 2:1. Desigur ca AO = R. Deci OP = R/2 .

Desenam cercul de centru O si raza R/2.
Ei bine, BC este o coarda tangenta la acest cerc in mijlocul ei, sa-l notam cu E. (BE=EC.)

In plus, AD este de asemenea perpendiculara pe BC si AD = R/2 .

Ne uitam mai indeaproape la patrulaterul ADEO.
AD si OE sunt paralele (fiind ambele perpendiculare pe BC) si de aceeasi lungime.
Deci mai intai ADEO este paralelogram, apoi imediat dreptunghi.

De aici putem face desenul si mai clar.
Mi-egreu sa-l fac, asa ca mai bine-l descriu.

Desenam cercul de raza 1 (fara a restrange generalitatea) in planul complex.
Il plasez pe A in (0,1) sau in afixul i .
Centru cercului este O(0,0) sau in afixul 0.
Punctul E este desigur in (-1/2,0) sau cel de afix -1/2 (pe axa reala).
Pentru a desena cu mai multa siguranta B si C, propun sa ne legam de F(1,0) (afix -1) si sa alegem B,C (pe cerc) astfel incat FBC sa fie echilateral.
Daca B este "sus" si C "jos" atunci

B corespunde lui cos( 120 grade ) + i sin( 120 grade ), deci
B( -1/2 , radical(3) / 2 )

Iar C...

Sa ziem ca suntem in cazul cu B "sus" si C "jos"

In fine. Unghiurile lui ABC sunt:

Cel din A "inscris" de ( 120 de grade / 2 ) = 60 de grade, el se opune unui arc BC de 120 de grade, stiam, dar...

Cel din B "inscris" de ( 90 de grade + 120 de grade ) / 2 = 105 de grade, el se opune unui arc AFC...

Cel din C "inscris" de ( -90 de grade + 120 de grade ) / 2 = 15 de grade, el se opune unui arc ce poate fi vazut ca diferenta arcelor FB si FA...

(Sau puteam sa facem calculul 180-60-105 = 15, dar eu prefer sa fac calculul 60+105+15 = 180 ca verificare.)

Va multumesc.
Am urmarit mai usor rezolvarea lui edy11.