Buna seara,
cum as putea rezolva acest exercitiu?
sa se determine m astfel incat multimea cu x real mx^2-(2m-1)x+(m+2) = 0}intersecrtat cu (-infinit,2)sa aiba un singur element?
Asta insemna ca delta trebuie sa fie mai mare decat.Am caluculat-o si mi-a dat -12m+1.Ce conditii ar trebui sa mai pun ?

Multumesc anticipat si ma scuzati ca nu am scris cu Latex...

[Citat] Buna seara, cum as putea rezolva acest exercitiu? sa se determine m astfel incat multimea cu x real mx^2-(2m-1)x+(m+2) = 0}intersecrtat cu (-infinit,2)sa aiba un singur element? Asta insemna ca delta trebuie sa fie mai mare decat.Am caluculat-o si mi-a dat -12m+1.Ce conditii ar trebui sa mai pun ? Multumesc anticipat si ma scuzati ca nu am scris cu Latex...

Ave?i peste 60 de post?ri pe acest site. Ar fi cazul s? posta?i în (nu cu) Latex.
Dar, m? rog, m?car corect în române?te se poate?

[Citat] [Citat] Buna seara, cum as putea rezolva acest exercitiu? sa se determine m astfel incat multimea cu x real mx^2-(2m-1)x+(m+2) = 0}intersecrtat cu (-infinit,2)sa aiba un singur element? Asta insemna ca delta trebuie sa fie mai mare decat.Am caluculat-o si mi-a dat -12m+1.Ce conditii ar trebui sa mai pun ? Multumesc anticipat si ma scuzati ca nu am scris cu Latex... Ave?i peste 60 de post?ri pe acest site. Ar fi cazul s? posta?i în (nu cu) Latex. Dar, m? rog, m?car corect în române?te se poate?

Da,mi-am dat seama de greseala.Desi graba nu o justifica,eu chiar asta am facut.Imi pare rau.

O sa scriu eu ceva in LaTeX si vreau sa asigur aici ca este foarte probabil ca LaTeX-ul (prin disciplina pe care o imprima si prin intelegerea paginarii si a esteticii prezentarii, prin intelegerea rolului grabei / iesirii in intampinare la drum deschis, prin multe alte lucruri...) o sa ajute mai mult in viata decat ecuatia asta particulara de grad II. (E clar ca pagina de fata nu ofera "lux" de ciugulit simboluri si plasat in peisaj, dar chair daca am ofer luxul se pare ca tot degeaba l-am oferi.)

Am introdus "toate sicanele" in speranta ca gustul pentru paginare (intr-o limba romana favorabila) se trezeste imediat.

Rog a se apasa un [Citeaza] (+renunta) ca sa se vada diferenta...
(Exista aici si o "cutie cu nisip".)

[Citat]

Care este deci solutia?

Am gasit solutia

Sa vedem.
Nu stiu cum a fost folosita indicatia de mai sus, probabil ca nu a fost folosita, incerc sa fac clare lucrurile prin linii explicite.

Cer scuze, tiparitul explicit este dificil, asa ca o parte din munca (de calcul si mai ales de tiparit) o voi lasa pe seama calculatorului. Folosesc sage (program liber) si explic ce fac.

In primul rand introduc functiile:
sage: f( x, m ) = m* x^2 - (2*m-1)*x + (m+2)
sage: g( x, m ) = f( x+2, m )
sage: g( x, m ).expand()
m*x^2 + 2*m*x + m + x + 4

O sa scriu cateva propozitii ca sa se inteleaga translatia argumentului:

g( -3, m ) = 0 daca si numai daca f( -3+2, m ) = 0
g( -2, m ) = 0 daca si numai daca f( -2+2, m ) = 0
g( -3, m ) = 0 daca si numai daca f( -1+2, m ) = 0
g( 0, m ) = 0 daca si numai daca f( 0+2, m ) = 0
g( 1, m ) = 0 daca si numai daca f( 1+2, m ) = 0
g( 2, m ) = 0 daca si numai daca f( 2+2, m ) = 0
g( 3, m ) = 0 daca si numai daca f( 2+2, m ) = 0

Deci:
-3 este radacina pentru g( . , m ) daca si numai daca -1 este pentru f( . , m )
-2 este radacina pentru g( . , m ) daca si numai daca 0 este pentru f( . , m )
-1 este radacina pentru g( . , m ) daca si numai daca 1 este pentru f( . , m )
0 este radacina pentru g( . , m ) daca si numai daca 2 este pentru f( . , m )
1 este radacina pentru g( . , m ) daca si numai daca 3 este pentru f( . , m )
2 este radacina pentru g( . , m ) daca si numai daca 4 este pentru f( . , m )
3 este radacina pentru g( . , m ) daca si numai daca 5 este pentru f( . , m )

Sper ca este clar acum ca
g( . , m ) are exact o radacina in ( -oo , 0 )
daca si numai daca
f( . , m ) are exact o radacina in ( -oo , 2 ) .

Ne uitam acum la g( m, x ) .
Cazul m=0 il luam la o parte.
sage: g(x,0)
x + 4
sage: g(x,0).roots()
[(-4, 1)]
sage: g(x,0).roots( multiplicities=False )
[-4]
sage: g(x,0).roots( multiplicities=False, ring=RR )
[-4.00000000000000]

Vedem ca sage poate calcula pentru noi radacinile polinomului x+4 .
In prima forma, g(x,0).roots() aflam ca -4 e radacina cu multiplicitatea 1.
(Trebuie doar sa stim sa citim.)
Ne deranjeaza partea cu multiplicitatile. Bun folosim optiunea "multiplicities=False".
Daca vrem o valoare in forma zecimala, cerem valoarea in inelul RR al numerelor reale (intern deja definit in sage).

Bun, sa revenim la problema.
In ce caz are g-ul (si/sau f-ul) doua radacini confundate?
Discriminantul este (in ambele cazuri) -12m + 1 .
Radacinile sunt:

sage: g( x, 1/12 ).roots()
[(-7, 2)]
sage: f( x, 1/12 ).roots()
[(-5, 2)]

Acea a doua componenta 2 este multiplicitatea.
Deci il bagam si pe 1/12 in cos, pentru ca problema se leaga de multimea radacinilor, aici multiplicitatea nu conteaza.

Mai departe. In ce caz are g-ul o radacina nula?
Cerem deci g(0,m) = 0. Acest lucru se intampla pentru m=-4.
Radacinile sunt -7/4 si 0.
Il bagam si pe -4 in cos.

Sa zicem acum ca m nu este din { -4, 0, 1/12 } .
Il fixam (in gand).
Atunci functia x -> g(x,m) are coeficientul principal m si pe cel liber m+4.
Produsul radacinilor este <0 daca si numai daca (m+4)/m este <0 . (Vieta.)
Deci daca si numai daca m(m+4) <0 .
Deci daca si numai daca m se afla in (-4,0) .

Sper ca este clar ca in acest caz exact o radacina a lui x -> g( x , m ) este <0 .
Deci exact o radacina a lui f(x,m) este <2 .

Reciproc, daca exact o radacina este <0, cealalta este reala in primul rand, in al doilea diferita de prima si de 0, cazuri excluse (si puse in cos), deci produsul radacinilor este <0.

Solutia este deci

( -4, 0 ) U {-4,0,1/12}
=
[ -4, 0 ] U {1/12}

Sa vedem ce spune computerul:

for m in [ -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1/100, 1/13, 1/12, 1/11, 1, 2, 3]:
print "g(x,%s) are radacinile reale %s" % ( m, g(x,m).roots( multiplicities=False, ring=RR ) )
g(x,-5) are radacinile reale [-1.68102496759067, -0.118975032409335]
g(x,-4) are radacinile reale [-1.75000000000000, 0.000000000000000]
g(x,-3) are radacinile reale [-1.84712708838304, 0.180460421716370]
g(x,-2) are radacinile reale [-2.00000000000000, 0.500000000000000]
g(x,-1) are radacinile reale [-2.30277563773199, 1.30277563773199]
g(x,0) are radacinile reale [-4.00000000000000]
g(x,1/100) are radacinile reale [-97.9041575982343, -4.09584240176570]
g(x,1/13) are radacinile reale [-9.30277563773199, -5.69722436226801]
g(x,1/12) are radacinile reale [-7.00000000000000]
g(x,1/11) are radacinile reale []
g(x,1) are radacinile reale []
g(x,2) are radacinile reale []
g(x,3) are radacinile reale []

Putem sa cerem si forma exacta a radacinilor, asta doar ca sa vedem ce poate sage...

for m in [ -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1/100, 1/13, 1/12, 1/11, 1, 2, 3]:
print "g(x,%s) are radacinile reale %s" % ( m, g(x,m).roots( multiplicities=False ) )
g(x,-5) are radacinile reale [-1/10*sqrt(61) - 9/10, 1/10*sqrt(61) - 9/10]
g(x,-4) are radacinile reale [-7/4, 0]
g(x,-3) are radacinile reale [-1/6*sqrt(37) - 5/6, 1/6*sqrt(37) - 5/6]
g(x,-2) are radacinile reale [-2, 1/2]
g(x,-1) are radacinile reale [-1/2*sqrt(13) - 1/2, 1/2*sqrt(13) - 1/2]
g(x,0) are radacinile reale [-4]
g(x,1/100) are radacinile reale [-10*sqrt(22) - 51, 10*sqrt(22) - 51]
g(x,1/13) are radacinile reale [-1/2*sqrt(13) - 15/2, 1/2*sqrt(13) - 15/2]
g(x,1/12) are radacinile reale [-7]
g(x,1/11) are radacinile reale [-1/2*I*sqrt(11) - 13/2, 1/2*I*sqrt(11) - 13/2]
g(x,1) are radacinile reale [-1/2*I*sqrt(11) - 3/2, 1/2*I*sqrt(11) - 3/2]
g(x,2) are radacinile reale [-1/4*I*sqrt(23) - 5/4, 1/4*I*sqrt(23) - 5/4]
g(x,3) are radacinile reale [-1/6*I*sqrt(35) - 7/6, 1/6*I*sqrt(35) - 7/6]

Acelasi lucru pentru f, ca sa vedem cum stam.
Dau doar partea cu radacinile reale:


for m in [ -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1/100, 1/13, 1/12, 1/11, 1, 2, 3]:
print "f(x,%s) are radacinile reale %s" % ( m, f(x,m).roots( multiplicities=False, ring=RR ) )

f(x,-5) are radacinile reale [0.318975032409335, 1.88102496759067]
f(x,-4) are radacinile reale [0.250000000000000, 2.00000000000000]
f(x,-3) are radacinile reale [0.152872911616963, 2.18046042171637]
f(x,-2) are radacinile reale [0.000000000000000, 2.50000000000000]
f(x,-1) are radacinile reale [-0.302775637731995, 3.30277563773199]
f(x,0) are radacinile reale [-2.00000000000000]
f(x,1/100) are radacinile reale [-95.9041575982343, -2.09584240176570]
f(x,1/13) are radacinile reale [-7.30277563773199, -3.69722436226801]
f(x,1/12) are radacinile reale [-5.00000000000000]
f(x,1/11) are radacinile reale []
f(x,1) are radacinile reale []
f(x,2) are radacinile reale []
f(x,3) are radacinile reale []

Vedem in fiecare caz exact cate radacini sunt in ( -oo, 2 ) .
Cum se vede, 1/100 si 1/13 trebuie excluse, deci solutia NU poate fi
( -4, 1/12 )
ca mai sus.
Codul ne ajuta deci sa ne verificam.