Cum determin pe x din ecuatia:x la a 4 a=sigma ,unde sigma permutare de ordin 6
1 2 3 4 5 6
2 4 5 3 6 1

[Citat] Sa se studieze existenta unei permutatri x a multimii {1,2,3,4,5,6} cu proprietatea ca x la a 4-a este permutartea sigma = (1,2,4,3,5,6) de ordin 6, explicit: 1 2 3 4 5 6 2 4 5 3 6 1

O astfel de permutare x nu exista.
Presupunem ca exista.
Scriem x ca produs de ciclii disjuncti.
Acesti ciclii determina o partitie a lui {1,2,3,4,5,6} in parti mai mici, disjuncte, actiunea lui x pe fiecare parte fiind ciclica.
Dupa ridicare la puterea a 4-a, obtinem o permutare cu scriere ca produs de ciclii disjuncti ce conserva partile pentru x.

Exemplu:
Daca y este (1)(2,3,4)(5,6), atunci scrierea de mai sus da partitia
{1,2,3,4,5,6} = {1} U {2,3,4} U {5,6} .
Dupa ridicare la a 4-a, dam de
yyyy = (1) (2,3,4) (5) (6), partitia corespunzatoare este mai fina, insa in orice caz partile {1} , {2,3,4} , {5,6} din scrierea lui y sunt lasate pe loc.

Folosesc mai jos i,j,... (litere diferite pentru elemente diferite) din {1,2,3,4,5,6} .

Prin ridicare la a 4-a,
- ciclii c de lungime unu, c = (i) raman asa, cccc = (i),
- ciclii c de lungime doi, c = (i,j) devin cccc = (i) (j),
- ciclii c de lungime trei, c = (i,j,k), devin cccc = ccc c = c = (i,j,k),
- ciclii c de lungime patru, c = (i,j,k,l), devin cccc = (i) (j) (k) (l),
- ciclii c de lungime cinci, c = (i,j,k,l,m), devin cccc = inversul lui c = (m,l,k,j,i), (putem folosi ccccc = identitatea,)
- ciclii c de lungime sase, c = (i,j,k,l,m,n), devin cccc = (i,m,k)(j,n,l) .

In nici unul din cazuri nu supravietuieste nici un ciclu de lungime 6. Am terminat.


Nota: Punerea problemei trimite rezolvitorul pe o pista gresita. Care sunt enuntul original, sursa, nivelul si cadrul in care a fost pusa?

Cerinta este sa demonstram ca ecuatia nu are solutie in S6;problema apare intr-o culegere a domnului prof Burtea,clasa 11.

Permutarea

are 7 inversiuni, deci este impar?. În schimb,

este par?, indiferent de paritatea permut?rii

.

Multumesc.Am inteles.

Cum il determin pe x stiind ca:
alfa*x=x*alfa, unde
alfa = 1 2 3 4 5
3 2 1 5 4

[Citat] Sa se determine toate permutarile x din grupul G de permutari ale elementelor multimii { 1,2,3,4,5 } stiind ca: alfa * x = x * alfa, unde alfa = (13)(45) este permutarea 1 2 3 4 5 3 2 1 5 4

Codul urmator gaseste toate solutiile...
"Determinarea" nu este unica.

sage: G = SymmetricGroup(5)
sage: G
Symmetric group of order 5! as a permutation group
sage: alfa = G((1,3)) * G((4,5))
sage: alfa
(1,3)(4,5)
sage: for k in [1..5]: print k, "->", alfa(k)
....:
1 -> 3
2 -> 2
3 -> 1
4 -> 5
5 -> 4
sage:
sage: for x in G.list():^J if alfa*x == x*alfa:^J print x
....:

()
(4,5)
(1,3)
(1,3)(4,5)
(1,4)(3,5)
(1,4,3,5)
(1,5,3,4)
(1,5)(3,4)

Solutia umana trebuie sa arate mai intai ca 2 sta pe loc, asta deoarece
x(2)
= x(alfa(2))
= (x*alfa)(2)
= (alfa*x)(2)
= alfa(x(2))
si alfa lasa doar 2-ul pe loc.

Pentru x mai avem doar 4! = 24 posibilitati ramase, o foaie de caiet de incercari in cel mai rau caz. (Permutarile multimii {1,3,4,5} mai conteaza doar.)

Apoi trebuie luate cumva la rand cazurile.
(1 se duce in 1, 1 se duce in 3, 1 se duce in 4, 1 se duce in 5...)
si vazut mai departe.
Deoarece avem o problema "finita" putem sa o transam cel mai bine cu calculatorul.

Cred ca avem 5 solutii. Permutarea are ciclu de grad maxim 2.
Putem scrie asha: (3 2 1 5 4) * (

) = (

)
Dincolo (

) * (3 2 1 5 4)/ Ca sa treaca in ce avem mai sus tb ca :

[Citat] Cred ca avem 5 solutii. Permutarea are ciclu de grad maxim 2. Putem scrie asha:

(Cred ca am inteles bine...)

Care sunt cele cinci solutii?

Care din cele ceva mai multe de mai sus nu este solutie? In scrierea de mai sus am scris fiecare permutare ca produs de ciclii disjuncti. Permutarea

(1,4,3,5)

corespunde asfel ciclului 1 -> 4 -> 3 -> 5 -> 1 -> ... (ciclic) (si 2 sta pe loc), i.e.
/ 1 2 3 4 5 \
\ 4 2 5 3 1 /

Aveti dreptate sunt 4. Am numarat prost! La mine 2*2=5...

Nu te supara... Am incercat sa-ti trm mesaj privat dar vad ca ai casuta plina. Intrebarea mea e : se organizeaza vreun concurs ceva pe acest site? gen olimpiada chestii! (preferabil nivel de facultate sau liceu)