Ecuatia x^2-2y^2=3 are solutii in multimea nr. intregi?

[Citat] Ecuatia x^2-2y^2=3 are solutii in multimea numerelor intregi?

Nu, nu are solutii, deoarece nu are solutii "modulo 8".
Pentru aceasta este bine sa vedem care sunt resturile posibile la impartirea cu 8 ale unui patrat perfect.

Daca x este de forma 4k,
x^2 este de forma 16 k^2, da restul 0 la impartirea cu 8.

Daca x este de forma 4k+1 sau 4k-1,
x^2 este de forma 16 k^2 + 8k + 1 sau 16 k^2 - 8k + 1, da restul 1 la impartirea cu 8.

Daca x este de forma 4k+2,
x^2 este de forma 16 k^2 + 16k + 4, da restul 4 la impartirea cu 8.

Singurele resturi posibile ale unui patrat perfect la impartirea cu 8 sunt deci 0, 1, 4.

De aici, daca incercam sa potrivim modulo 8 egalitatea
x^2 este 3 + 2y^2 modulo 8,

vedem ca trebuie sa il alegem pe x^2 impar, deci 1,
dar deoarece 2y^2 este fie 0, fie 2 modulo 8,
dam de o contradictie.

Daca sunt intrebari, rog a se formula.
Nu stiu cat de detaliat sa explic.
Pe scurt: Problema se incadreaza la capitolul divizibilitate,
dificultatea este de a-l depista pe 8 ...

Multumesc.
Dar, greu exercitiu,totusi,pentru un copil de clasa a VI-a!
Greu de gasit si 8-ul!

[Citat] Ecuatia x^2-2y^2=3 are solutii in multimea nr. intregi?

Membrul drept al egalitatii (1) este impar, deci si membrul stang va fi impar, adica

Membrul stang al ultimei egalitati este par, deci si membrul drept va fi par, adica :

Membrul stang al ultimei egalitati este par, fiind produsul a doua numere consecutive, iar membrul drept este (evident) impar.

Deci, ultima egalitate este falsa. Atunci, concluzia este ca ecuatia initiala nu are nici o solutie in multimea

[Citat] [Citat] Ecuatia x^2-2y^2=3 are solutii in multimea numerelor intregi? Singurele resturi posibile ale unui patrat perfect la impartirea cu 8 sunt deci 0, 1, 4.

La fel la impartirea cu 5...si la fel continuarea.

[Citat] [Citat] [Citat] Ecuatia x^2-2y^2=3 are solutii in multimea numerelor intregi? Singurele resturi posibile ale unui patrat perfect la impartirea cu 8 sunt deci 0, 1, 4. La fel la impartirea cu 5...si la fel continuarea.

Pentru clasa a VI-a, e faina... ( ! )

Mi-a placut, edy11!

[Citat] La fel la impartirea cu 5...si la fel continuarea.

Modulo 5 exista solutia
x = 0 mod 5 si
y = 1 mod 5 .
(Deoarece 0 mod 5 - 2 mod 5 = 3 mod 5.)