Asadar,cum am incercat..
1) Functia este continua pe [-1,1] deoarece este polinomiala si

- punctul de trecere de la o ramura la alta[/equation]

2) Trebuie sa verific daca functia este si derivabila. Aici intrebarea mea este,oricare functie continua este si derivabila ? Sa zicem ca in acel punct de 'trecere' functia ar fi derivabila..Dar celelalte puncte din interval ?

orice functie derivabila este continua, insa nu orice functie continua este derivabila, spre ex f(x)=|x|, care este continua pe R dar insa nu este derivabila in x=0.

Dar cum demonstrezi ca functia e derivabila pe intreg intervalul [-1,1] ? Ar insemna sa luam fiecare punct din interval (in cazul de fata,inclusiv 0),si sa verificam daca

e finit?

calculam f'(x) in ambele cazuri si avem


f'(x)= 3x^2; x apartine [-1,0]
f'(x)= 1; x apartine (0,1)

bun, ca sa vedem daca functia este derivabila, ea trebuie sa aibe aceeasi panta peste tot (asta ne arata functia derivabila).
Acum, in cazul primului interval, este functia derivabila? este... pentru ca nu exista niciun punct in care sa nu-i putem calcula panta, nu exista nicio restrictie, este continua. Pe al 2-lea interval, este functia derivabila? este, la fel este continua si putem sa-i calculam derivata in orice punct al intervalului.
Fiindca functia este data pe 2 ramuri, trebuie sa verificam daca cele 2 puncte in care se separa au aceeasi panta, respectiv in punctul 0. Dupa cum am stabilit inainte, functia este continua, deci cele 2 ramuri se inbina. Ca sa fie si derivabila functia trebuie sa se imbine frumos, spre ex., daca are colturi nu e buna, ca in cazul functiei f(x)=|x|,unde f(x) este coltuoasa in punctul 0 ( functia avand forma literei V). Deci trebuie sa calculam derivata in punctul 0. f'(0) este 0=derivata la stanga; f'(0)=1=derivata la dreapta => f nu e derivabila in 0 deci nu se aplica t rolle.

pentru mai multe detalii http://www.youtube.com/watch?v=fHxYd_fCkmM



In concluzie, daca avem o functie si vrem sa fie derivabila, atunci f'(x)trebuie sa fie continua.

Spre ex. f(x)=2x^2; f'(x)=4x; este 4x continua? este=>f= derivabila

Multumesc mult! Am reusit sa inteleg... Functia f este derivabila pe (-1,0)U(0,1) deoarece este definita cu ajutorul functiilor elementare ( polinomiale),nu mai ramane de verifcat decat 0,asa cum ai zis si tu..multumesc din nou!