Care afirmatie despre imaginary unit (i) este adevarata?
i^2=-1 sau i=sqrt -1 ???


Conform afirmatiei de aici a 2-a varianta este gresita http://www.youtube.com/watch?v=5iCoBU0o86Q&feature=results_main&playnext=1&list=PLEDA0A6072E72E28C


Iar daca aplicam ajungem la o contradictie :|

[Citat] Care afirmatie despre imaginary unit (i) este adevarata? i^2=-1 sau i=sqrt -1 ???

Inainte de toate trebuie bine definite obiectele, daca chiar trebuie sa raspundem la intrebare. Scoala nu se incurca prea mult cu a-l defini pe
i .
(In unele scoli.) De aceea inainte de toate:

- Ce este i in manual?
- Ce sens are radicalul?

Inainte de intelegerea acestor lucruri nu are sens sa mergem mai departe.
Eu pot da sensul care trebuie lucrurilor de mai sus, vreau insa sa sa vad un raspuns mai intai. Cer definitiile si exact definitiile.
Apoi vedem ce proprietati au obiectele definite.

Din pacate, link-ul youtube de mai sus reflecta un mod "american de nivel intermediar" de lucru cu obiectele. Nu are rigoarea necesara pentru a pune vreo intrebare. Nici o sansa sa raspunda la intrebarea nepusa.

din pacate nu mai am manualul din clasa a x-a... insa la scoala nu ni s-a explicat prea multe despre acest i. Pur si simplu am inceput sa facem exercitii cu numerele complexe.Stiu doar ca i este partea imaginara a unui nr. real si ne ajuta sa rezolvam probleme care nu se pot face cu ajutorul nr. reale. Daca sunteti dragut si aveti timpul necesar ati putea incerca sa-mi explicat mai in detaliu ce face acest i si care-i forma lui exacta. :D



Ce sens are radicalul unui nr. negativ?... nu prea are sens (pentru mine).

R?d?cina p?trat? este definit? numai pentru numere pozitive.

Defini?ie

R?d?cina p?trat? a unui num?r pozitiv este acel num?r pozitiv al c?rui p?trat este num?rul dat.
De?i pentru orice num?r pozitiv (de ex. 25) exixt? dou? numere al c?ror p?trat este num?rul dat (în acest caz: 5 ?i -5), r?d?cina p?trat? a num?rului este doar num?rul pozitiv (aici, este 5). - si aici sunt putin in dubiu... este o conventie ca radacina patrata a unui numar pozitiv sa fie tot pozitiva?

Problema principala este cea cu introducerea lui i la scoala.
O sa incerc sa dau mai departe o constructie care poate fi folosita ca definitie. In acest mod ne departam de suportul geometri si este bine asa.

Ne uitam la inelul de polinoame IR[X] .
Necunoscuta este X peste corpul numerelor reale.
Consideram inelul cat

C = IR[ X ] modulo ( XX + 1 )

definit a fi inelul claselor de resturi fata de polinomul XX+1
(sau X patrat plus unu in citire umana).
(Daca nu s-au facut nici un fel de clase de restruri, riguros sau nu, cer scuze, voi arata cum ne scapam de asa ceva.)

Notam cu i valoarea luiX modulo (XX+1) .
Atunci
ii+1 = (XX+1) modulo (XX+1) = 0 modulo (XX+1)

Deoarece restul la impartirea cu XX+1 este (poate fi ales a fi) un polinom de forma

a + bX , a,b, numere reale,

rezulta ca toate elementele lui C pot fi scrise sub forma

a + bX modulo (XX+1) = a+bi ,
a,b, numere reale.

Vom aduna si inmulti astfel de numere, asa cum vin lucrurile din lucrul cu polinoamele. De exemplu:

(a+bi)(c+di)
=
(a+bX modulo XX+1)
(c+dX modulo XX+1)
=
(a+bX)(c+dX)
modulo (XX+1)
=
ac + (ad+bc)X + bd XX
modulo (XX+1)
=
ac + (ad+bc)X + bd (XX+1)-bd
modulo (XX+1)
=
(ac-bd) + (ad+bc)X
modulo (XX+1)
=
(ac-bd) + (ad+bc) i .

Acum vine mai departe o definitie care poate fi data la scoala la nivel de clasa a IX-a sa zicem, cel mai bine la nivel de a XII-a daca este sa respectam nivelul de intelegere structurala a operatiilor ce pot fi introduse pe o multime.

De aceea, la nivel de a IX-a cea mai buna definitie mi se pare a fi:

Consideram multimea
C a tupletelor (a,b) cu a,b din IR,
pe care o organizam cu muulta structura.
(Deci ca multime, C este definit a fi IR x IR, produsul cartezian a doua copii ale corpului numerelor reale, de asemenea neconstruit riguros la nivel de a IX-a.)

Pe C consideram operatiile:

- organizam C cu structura de spatiu vectorial doi-dimensional peste corpul IR.
- adunarea "+": pe componente. (a,b) + (a',b') = ( a+a', b+b') .
- scaderea "-": pe componente. (a,b) - (a',b') = ( a-a', b-b') .
- elementul neutru fata de "+" este (0,0), scris si 0 .

- daca consideram cele de mai sus ca un spatiu vectorial peste IR, avem "inmultirea vectorilor pe componente cu un scalar real",
a. (b,c) se defineste a fi "vectorul" ( ab , ac ) .

- organizam mai departe C ca inel.
- inmultirea ".": asa cum vine ea de mai sus din "inmultirea polinoamelor modulo XX+1". Formula se da explicit:
(a,b) . (c,d) = ( ac-bd , ad+bc ) .
- elementul neutru fata de "." este (1,0), scris si 1 .
- elementul "deosebit" (0,1) se scrie de acum incolo intre noi sub forma
i .

- Folosind structura de spatiu vectorial putem rescrie (pentru a ne scapa de parantezele care sunt un fel de "zgomot alb ce complica notatia degeaba)

(a,b)
= (a,0) + (0,b)
= a(1,0) + b(0,1)
= a .1 + b . i
= a + ib

cu conventiile uzuale din lucrul cu inele. (Nu mai scriem operatia de inmultire, inmultirea cu unu lasa elementele pe loc, aici acel "a solo" se intelege prin morfismul structural ce duce IR -> C prin a -> (a,0), e morfism de inele (de algebre peste IR daca chiar trebuie sa fim bourbakisti) .)

- Un automorfism important al lui C este (a,b) -> (a,-b), conjugarea complexa.

- Se poate demonstra usor ca un numar a+ib , a,b din IR nu ambele nule,
are un invers fata de inmultire, anume considerand mai intai inmultirea cu conjugata,
(a+ib)(a-ib) = aa+bb ,
inmultind apoi cu 1/(aa+bb), numar real (scalar) nenul...

Pana acum am facut doar algebra.

(Daca cineva vrea sa scrie acum vreun radical, de exemplu undeva pe youtube, sa incerce sa scrie o aplicatie bine definita ca sa inteleg si eu unde este problema.)