cum se pot afla divizorii naturali cu n cifre ai unui numar de forma 10^n+1? Chiar si o idee mi-ar fi de mult ajutor!

Nu exist?. Indica?ie: dac? 10^n+1=ab, unde a e un numar cu n cifre, atunci b are o singura cifr?.

LATER EDIT: excep?ie n=3

ultima relatie se poate demonstra "algebric" sau luand exemple pana nu se mai indeplineste conditia?

Asa cum a mentionat mai sus domnul enescu, daca

, numarul

avand n cifre, rezulta imediat ca

are o cifra. Cum

este si numar prim, iar valorile 2,3 si 5 nu convin, trebuie verificat daca

poate fi 7. Dintr-un criteriu de divizibilitate
cu 7, obtinem ca

cu

avand n cifre, daca

.

Corect, m-am gr?bit.

Poate ca e bine sa se vada explicit si divizorii cu n cifre ai lui
10...001 scris cu (n+1) cifre,
folosind cele de mai sus in mod esential...
Folosind sage

1001 : 7 =...
...= 143

1000000001 : 7 =...
...= 142857143

1000000000000001 : 7 =...
...= 142857142857143

1000000000000000000001 : 7 =...
...= 142857142857142857143

1000000000000000000000000001 : 7 =...
...= 142857142857142857142857143

1000000000000000000000000000000001 : 7 =...
...= 142857142857142857142857142857143

1000000000000000000000000000000000000001 : 7 =...
...= 142857142857142857142857142857142857143

(143 este mereu la sfarsit. Numarul 142857 este cel ce inmultit cu 7...)
Daca teorema mica a lui Fermat este cunoscuta, se intelege usor perioda 6 pentru puterile n pentru care avem divizibiltate cu 7 pentru 10^n + 1 .
Daca nu, acest fapt (si calculul primelor zecimale ale lui 1/7) reprezinta o pregatire buna pentru ziua in care ii va veni vremea teoremei...

multumesc pentru raspunsuri!P.S.Am facut mica teorema lui Fermat.

[Citat] P.S.Am facut mica teorema lui Fermat.

Atunci se poate usor intelege usor cand se divide 10^n+1 la acel 7 care vine esential de mai sus.

Folosind mica teorema a lui Fermat pentru numarul prim 7 si baza 10 (prima cu 7),
rezulta ca 10^6 da restul 1 la impartirea cu 7.
Deci 10 la o putere divizibila cu 6 da restul 1 la impartirea cu 7.
Deci
10^n + 1
da acelasi rest la impartirea cu 7 ca si
10^(n luat modulo 6) + 1 .

Ajunge sa ne legam doar de resturile ce apar la impartirea cu 6=(7-1) pentru primele puteri n din { 0,1,2,3,4,5 } .
Deoarece:
sage: for n in [0..6]: print "10^%s + 1 este %s modulo 7" % ( n, (10^n+1) % 7 )
....:
10^0 + 1 este 2 modulo 7
10^1 + 1 este 4 modulo 7
10^2 + 1 este 3 modulo 7
10^3 + 1 este 0 modulo 7
10^4 + 1 este 5 modulo 7
10^5 + 1 este 6 modulo 7
10^6 + 1 este 2 modulo 7

Rezulta ca doar pentru n de forma 6k+3, k natural, numarul 10^n+1 se divide cu 7.