1.Daca ctgA+ctgB=2ctgC, aratati ca a patrat + b patrat=2c patrat

2.

[Citat] 1.Daca ctgA+ctgB=2ctgC, aratati ca a patrat + b patrat=2c patrat 2.

O solutie (pentru unii doar partiala):
- este foarte putin probabil sa avem ctgA+ctgB=2ctgC, cu atat mai putin cu cat nu stim absolut nimic despre A,B,C. Presupunerea mea prima este faptul ca lucram cu expresii transcendente in necunoscutele (independente) A,B,C, caz in care daca relatia de mai sus are vreun sens, ea nu este adevarata.
Intelegerea cauzalitatii generate de enunt, ne ofera sansa sa scriem.

Nu are loc (in general, deci nu are loc) relatia bine inghesuita
ctgA+ctgB=2ctgC
deci nu avem nimic de aratat.

Punctul 2. se rezolva la fel.

O sa incerc sa scriu ceva incat sa vin totusi in intampinare...

[Citat] Se da un triunghi nedreptunghic ABC de asa natura, incat unghiurile acestui triunghi satisfac relatia ctg A + ctg B = 2 ctg C . Fie a,b,c laturile respectiv opuse varfurilor A,B,C. Sa se arate ca are loc relatia: a² + b² = 2c² .

Indicatii:

Se expliciteaza ctg = cos / sin si se aduce la acelasi numitor in relatia data. Mai folosim sin(C) = sin( suplement(A + B) ) = sin(A+B) .
Ne scapam de numitori (care sunt nenuli) si dam echivalent de:

sin²(A+B) = 2 sin(A) sin(B) cos (C) , echivalent cu

sin²(C) = 2 sin(A) sin(B) cos (C) .

Scriem formula generalizata a lui Pitagora.
a² + b² = c² + 2ab cos(C)
si o comparam cu ce avem de demonstrat.
Rezulta ca avem echivalent de demonstrat:

c² = 2ab cos(C)

Exista o relatie care leaga a,R si sin(A).
De unde vine ea? Fie O centrul cercului circumscris lui ABC.
Ducem inaltimea AA' in OBC, A' este deci mijlocul lui BC.
Triunghiul OBA' are atunci:
- ipotenuza R
- o cateta a/2, lungimea lui BA', jumatatea lui BC,
- unghiul opus ei este A .

Dam de sin A = (a/2) / R , deci a = 2R sin(A) .

Folosim aceasta relatie si pentru b,c pentru a explicita cu R si A,B,C (fara a,b,c) ce vrem sa demonstram, anume c² = 2ab cos(C) .

Vedem ca am terminat.