Daca n!=1.2.3.4...n,aratati ca :

Singurul divizor comun al numerelor n!+1 si n!(n+1)+1 este 1.

Problema e din culegerea pentru clasa a V-a, de Ioan Dancila, pag.34

E mai dificila.

[Citat] Daca n!=1.2.3.4...n,aratati ca : Singurul divizor comun al numerelor n!+1 si n!(n+1)+1 este 1. Problema e din culegerea pentru clasa a V-a, de Ioan Dancila, pag.34 E mai dificila.

Nu e dificila deloc.
Sa zicem ca un numar natural nenul d divide ambele numere:

A = n! + 1 si
B = (n+1)! + 1 = n!(n+1) + 1 .

Atunci d divide si
C = (n+1)A = n!(n+1) + (n+1) .

Atunci d divide si
C-B = (n+1)-1 = n .

Atunci d divide si
D=n!
care este multiplu de n.

Atunci d divide si
D-A = 1 .

Deci d=1.

Orice divizor comun natural pentru A si B este deci 1. Am terminat.