Fie

si

. Adunam toate cifrele numarului

si obtinem numarul

, apoi adunam cifrele numarului

si obtinem numarul

si asa mai departe. Procedam in acelasi fel pentru numarul

, din care obtinem

, apoi

si asa mai departe. Demonstrati ca exista numerele naturale m si n astfel incat

.

Adunarea cifrelor unui numar n,
deci functia
s: IN -> IN data de
s(n) = "SUMA CIFRELOR LUI n, SCRIS IN BAZA ZECE"

are proprietatile

s(n) si n sunt congruente modulo 9 (deoarece 10 la o putere este 1 la aceeasi putere modulo 9) si

s(n) < n .

Rezulta ca sirul n, s(n), s(s(n)), ... este "o vreme" descrescator (cat timp avem mai mult de doua cifre in mana) si devine stationar cand dam de doar o cifra.

Deci sirurile optinute recursiv prin aplicarea lui s pe a, respectiv b devin stationare de la o vreme, dam de cate o cifra care se repeta. Ei bine, daca mai observam ca

a si b sunt congruente modulo 9 ...