Fie x1,x2,...,xn numere reale nenule cu proprietatea ca

. Sa se arate ca:

.

[Citat]

M-am redus deja in enunt la numere x1, ... toate > 0,
pentru ca (altfel) le inlocuiesc cu |x1|, ...
si am de demonstrat "acelasi lucru".

Notez mai departe cu

y1 = 1 / x1² , ...

si incerc sa scriu a doua inegalitate ca o inegalitate unde intervin doar y1, ... .

Aceasta inegalitate este de forma
f(y1) + ... + f(yn) este mai mare sau egala cu ...
unde f este o functie usor de izolat.

Un plot mi-a aratat ca f "arata convex",
de aceea poate ca am sansa sa aplic Jensen sub forma,

( f(y1) + ... + f(yn) ) / n
este o expresie mai mare sau egala cu
f( (y1+...+yn) / n ) = f(n/n) = f(1) = arctg(1) = pi/4 .

Mai ramane de verificat ca f-ul "izolat implicit mai sus" este intr-adevar o functie convexa pe IR . Sper ca e asa, ora mi-e inaintata si rog a fi ajutat cu detaliile. In orice caz, asa m-as apuca eu de problema.

Sau putem sa consideram functia pentru care aplicam Jensen doar arctg, si ne folosim de x1/(x1+...+xn), x2/(x1+...+xn), ... , xn/(x1+...+xn) ca si coeficienti, si folosim x1+x2+...+xn>n din prima egalitate. Nu?