Buna seara! Ceea ce voi prezenta mai jos este o problema cu multimi, care a mai fost postata, insa eu as avea o nelamurire!

Problema.Determinati numarul perechilor de multimi (A;B) care
indeplinesc simultan conditiile:
a) A U B inclus sau egal cu {1,2,3,...,2012}
b) A \ B inclus sau egal cu {1,2,3,...,1006}
c) A intersectat cu B diferit de multimea vida.

Eu cunosteam Regula Produsului: Daca obiectul A are m posibilitati de alegere, si obiectul B are n posibilitati de alegere, atunci perechea de obiecte (A;B) are m?n posibilitati de alegere.

O persoana mi-a spus, cand am intrebat-o daca e nevoie sa aprofundez niste notiuni de combinatorica(ma refeream la aranjamente, combinari si permutari, dar nu am pomenit de acestea), ca nu e nevoie sa invat combinari de exemplu, ci ca totusi este nevoie de anumite informatii si notiuni din sfera ''combinatoricii''. Apoi mi-a spus ca ar fi indicat sa cunosc Regula Produsului si sa stiu cate submultimi are o multime cu n elemente(2^n)
Rezolvarea de pe forum am inteles-o in mare parte, fiindca am mai vazut probleme asemanatoare rezolvate.

Luam multimea totala T={1,2,3,...,2012}. conditia a) ne arata ca multimea
A U B este o submultime a lui T. Apoi desenand diagrama lui Venn-Euler, observam ca A = (A \ B) U (A ? B), iar B = (A ? B) U (B \ A), deci
A U B = (A \ B) U (A ? B) U (B \ A), (A \ B; A ? B; B \ A) fiind intotdeauna un triplet de multimi disjuncte. Multimea A este data de felul in care alegem primele 2 multimi din triplet, iar multimea B este data de felul in care alegem ultimele 2 multimi din triplet. Am putea spune deci ca perechea de multimi
(A;B) este unic determinata de alegerea tripletului de multimi disjuncte
(A \ B; A ? B; B \ A).
In plus daca A U B este o submultime a lui T, atunci matematic scriem ca
T = (A U B) U (T \ (A U B))echivalent cu a scrie urmatoarea afirmatie:
T = (A \ B) U (A ? B) U (B \ A) U (T \ (A U B))
Cele 4 multimi din a doua afirmatie formeaza o partitie a multimii T, lucru care implica urmatorul fapt: fecare element din T (1,2,3,...,2012) poate sa se afle in una si numai una din cele 4 multimi.
Mai observam : conditia b) arata ca A \ B este o submultime a lui {1,2,...,1006} deci nu pot exista in aceasta alte elemente decat cele de la 1 inclusiv pana la 1006 inclusiv. Nu pot exista alte elemente precum 1007,1008,...,2012, (dar si mai departe).

Acum: elementul 1 are 4 posibilitati(fiecare ''sertar'' e posibil)
elementul 2 are 4 posibilitati(fiecare ''sertar'' e posibil)
elementul 3 are 4 posibilitati(fiecare ''sertar'' e posibil)

Continuam tot asa:
elementul 1006 are 4 posibilitati(fiecare sertar e posibil)
elementul 1007 are 3 posibilitati(sertarul A \ B e interzis)
elementul 1008 are 3 posibilitati(sertarul A \ B e interzis)
elementul 1009 are 3 posibilitati(sertarul A \ B e interzis)

Continuam tot asa:
elementul 2011 are 3 posibilitati(sertarul A \ B e interzis)
elementul 2012 are 3 posibilitati(sertarul A \ B e interzis)

Din Regula Produsului avem 4?4?4?...?4 ? 3?3?3?...?3 posibilitati,
[de 1006 ori] [de 1006 ori]

adica 4 la puterea 1006, inmultit cu 3 la puterea 1006, deci 12 la puterea 1006 posibilitati in total.

Bun, aici intervine nelamurirea mea: de ce numarul de posibilitati gasite nu tine cont de conditia c)???
Cumva fiinca exista si posibilitatea ca niciun numar sa nu aleaga sertarul
(A ? B)???
Dupa ce m-am gandit la asta mi-a venit ideea de a lua pe cazuri, cand ''A intersectat cu B'' contine diferite elemente (1,2 ...)/grupuri cu mai multe elemente (1,2 si 5 sau 1007, 1008,1009 si 2012 , etc.) Dar mi-am dat seama ca sunt mult prea multe cazuri de verificat.
In plus nu stiu nici de ce ar trebui sa cunosc cate submultimi are o multime cu n elemente(dar m-am gandit la asta si am vazut ca pentru (A ? B) exista 2^2012-1 cazuri, nr total de submultimi a lui T fara multimea vida)
V-as ruga frumos sa-mi dati o mana de ajutor, explicandu-mi daca am judecat bine pana unde am facut corect, si spunandu-mi cum trebuie sa procedez pentru a gasi raspunsul corect. Dar v-as ruga sa-mi raspundeti cat de repede se poate, fiindca duminica seara trebuie sa dau raspunsul! Va multumesc pentru intelegere, si noapte buna!

P.S:Problema este una de clasa a VII-a din cate am inteles!Multumesc aticipat!



?

Deoarece s-a dat drumul la un nou subiect, o sa raspund de la capat,
nu am nici o sansa sa gasesc punctul de referinta din celalat subiect
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=33955
(cel de origine) si din multele postari de acolo.


Rog a se scrie
(a)
in loc de
a)
si aici si si la scoala. Unii oameni au simt estetic pentru simetrie, unii folosesc editoare care numara cate paranteze sunt deschise si inchise...

[Citat] Problema 1. Determinati numarul perechilor de multimi (A;B) care indeplinesc simultan conditiile: (a) A U B inclus sau egal cu T = {1,2,3,...,2012} (b) A \ B inclus sau egal cu R = {1,2,3,...,1006} (c) A intersectat cu B diferit de multimea vida.

Problema nu este una de clasa a VII-a, desigur.
(Cei ce afirma asa ceva sa isi aduca aminte ce au facut pe clasa a VII-a in cadrul pregatirii pentru treapta I-a de pe vremuri.)

O sa scriu solutia de la capat, in cealalta postare am vrut sa vad daca cel ce a postat intelege pasii. Ei bine, pasii s-au terminat prematur. Sper ca se termina pana deseara, deoarece vom incepe un nou dialog. (Matematica pana deseara este principalul motiv pentru care nu se intelege matematica, nu este vorba despre motivare ci despre sistemul de valori.)

O sa rezolvam doua probleme asemanatoare:

Problema 2.
Determinati numarul perechilor de multimi (A;B) care
indeplinesc simultan conditiile:

(a) A U B inclus sau egal cu T = {1,2,3,...,2012} ,
(b) A \ B inclus sau egal cu R = {1,2,3,...,1006} .

si

Problema 3.
Determinati numarul perechilor de multimi (A;B) care
indeplinesc simultan conditiile:

(a) A U B inclus sau egal cu T = {1,2,3,...,2012} ,
(b) A \ B inclus sau egal cu R = {1,2,3,...,1006} ,
(non c) A intersectat cu B este multimea vida.

Undeva in postarea originala am inventat un "N cu indicele a,b", dar poate ca nu am fost foarte explicit, dar poate ca mai degraba problema nu este una de clasa a VII-a...

Sa rezolvam asadar Problema 2. mai intai, este cea mai grea.

Alegerea lui A,B cu proprietatile (a) si (b) de mai sus este echivalenta cu alegerea a patru multimi *disjuncte* (pe care le-am numit sertare in postarea originala)

E = A intersectat cu B
F = A \ B
G = B \ A
H = T \ (A U B)

cu proprietatile
(a) E,F,G,H sunt incluse in T
(b) F inclus sau egal cu R = {1,2,3,...,1006}

Strategia de numarare este cea data de "regula produs (cartezian)" amintita mai sus (pe care eu nu o stiam sub numele "regula produs").

Distribuim numerele din T in sertare, nu cautam sertarele.
Fiecare din numerele din R are sanse sa intre in trei sertare.
Fiecare din numerele din T\R are sanse sa intre in patru sertare.
Avem deci

N(a,b) = 3^1006 . 4^1006

posibilitati.

Sa rezolvam acum problema a treia.
Alegerea lui A,B cu proprietatile (a), (b) si (non c) de mai sus este echivalenta cu alegerea a trei multimi *disjuncte*

(E = A intersectat cu B dispare cel mai bine deoarece este multimea vida)
F = A \ B
G = B \ A
H = T \ (A U B)

cu proprietatile
(a) F,G,H sunt incluse in T
(b) F inclus sau egal cu R = {1,2,3,...,1006}

Avem trei sertare. Dam de

N(a,b,non c) = 2^1006 . 3^1006

posibilitati.
Raspunsul la problema initiala este diferenta

3^1006 . 4^1006 - 2^1006 . 3^1006

pe care eu l-as lasa asa, deoarece reflecta cel mai bine combinatorica subiacenta. Pur si simplu ma opun sa dau factor comun.

Mai sunt probleme?
Din curiozitate doar, de ce trebuie sa vina raspunsul pana in seara acestei duminici?

Pe scurt:

[Citat] Bun, aici intervine nelamurirea mea: de ce numarul de posibilitati gasite nu tine cont de conditia (c)???

Referinta merge spre discutia unei probleme cu solutia incomplet discutata, deoarece cea ce a propus problema nu a avut sansa sa urmareasca pasii pusi la discutie. (Resemnare si abandonare, lucruri usor de inteles, deoarece problema este una de clasa a X-a. Cu putin respect am fi avut o ultima postare de forma: "Nu am inteles si am abandonat." Aceasta afirmatie este bine venita si eu in primul rand o inteleg si apreciez la adevarata ei valoare.)

Raspunsul la o problema intermediara nu tine intr-adevar cont de conditia (c) pentru ca aceasta conditie nu apare in problema intermediara.