Fie P un poligon convex si M un punct in interiorul sau. Sa se determine locul geometric al punctelor X sintuate in interiorul poligonului cu proprietatea ca suma distantelor de la X la laturile lui P este egala cu suma distantelor de la M la laturile lui P.

Se scrie analitic formula distantei de la un punct la o dreapta si se vede ca aceasta prezinta o liniaritae fata de cele doua coordinate x,y ale punctului
(x,y)
care variaza mereu de aceeasi parte fiecareia dinre dreptele ce marginesc poligonul. Dam astfel de o ecuatie pentru distanta de forma
ax+by+c = 0 .

Stim ca aceasta este satisfacuta pentru cel putin un punct.
Deci cazul cu a=b=0 si c nenul este exclus.

Daca NU are loc a=b=0 (deci daca cel putin una din valorile a,b este nenula) atunci dam de o dreapta prin M. Exemplu: cazul unui triunghi isoscel neechilateral, caz in care locul geometric este o dreapta paralela cu baza prin M. (Paralelitatea rezulta din pastrarea distantelor prin aplicarea reflexiei fata de mediatoarea bazei. Dreapta loc geometric trebuie sa stea pe loc.)

Exista totusi cazuri in care a=b=(c=)0
de exemplu din cauza simetriei figurii.
Exemplu si mai particular:
In cazul unui poligon regulat cu n laturi,
distanta ramane aceeasi daca aplicam una din cele n rotatii fata de centrul de simetrie O(0,0) (luat originea axelor) al poligonului, deci "panta nu poate fi definita", altfel "rotind dreapta cu panta respectiva" cu 2pi/n dam de inca o dreapta solutie.

Exemplele notorii sunt triunghiul echilateral si patratul, unde se stie ca suma distantelor unui punct interior la laturi este constanta.
Un exemplu care nu este poligon regulat este dreptunghiul.
Sau intersectia interiorului unui dreptunghi cu un triunghi echilateral, luata de asa natura incat conturul sa prezinte cele 4+3 laturi.
Sau intersectia a doua dreptunghiuri.

Si acum verdictul final.
Fie u,v,w,... toti vectorii normali (de lunghime unu) ai laturilor poligonului,
care arata fiecare spre interiorul poligonului dat.
Consideram suma lor vectoriala u+v+w+... .
Daca dam de zero, suma distantelor este constanta in interiorul poligonului.
Daca nu, dam de dreapta prin M perpendiculara pe vectorul suma.

Solutia poate fi data desigur mult mai vectorial.