Pentru x numar real, nenul si n numar intreg notam En =x^n+1/x^n.
1.Stiind ca E1 apartine numerelor intregi aratati ca En apartine lui Z, oricare ar fi n apartinand lui Z.
2.Stiind ca E1 apartine numerelor intregi si ca p este numar prim ce divide Ep atunci aratti ca p divide Ep+2.

Problema este neclara, un exemplu foarte clar de problema neclara.
(Asta lasand la o parte mica ghicitoare cu Ep+2, care ridica usor tensiunea cititorului.)
Banuiesc ca enuntul este:

[Citat]

(1) Inductie si formula binomului pentru puterea a n-a a lui (x+1/x)

(2) Care este sursa problemei si care este interesul pentru rezolvarea ei?

Deoarece interesul pentru aceasta problema presupune oarecum trecerea lejera prin primul punct, pe care din pacate l-am transat, incerc la al doilea sa las loc liber pentru o mica munca de detectiv.

Pentru inceput doresc doar sa remarc ca in
(a+b)^p
unde p este un numar prim
toti coeficientii binomiali cu exceptia celor de la capete se divid cu p.
De ce?

Apoi, din faptul ca p divide E(p,x), cum pute deduce repede ca p divide E(1,x) ?

(Apoi ne uitam la coeficientii binomiali pentru (a+b)^(p+2), eventual separand cazul cu p=2... Dar sa facem partea cu inceputul pentru inceput.)

La intrebarile de mai sus rog a se raspunde (de catre cel ce a propus problema).

Da, recunosc ca mi-a fost cam greu sa ma descurc in a scrie problema. Pe viitor ma voi stradui mai mult, totusi. Problema a fost propusa la clasa, pe post de 'tema de vacanta' sa spunem. Sursa initiala nu o pot astfel specifica pentru ca domnul profesor a venit pur si simplu si a scris-o pe tabla.

Multumesc mult!
In cazul acesta problema principala este cea de a da sens celor scrise pe tabla.

Poate parea mai putin important rolul literelor (care litera intervine prima, care dupa, care litera poate lua orice valoare, care are o valoare fixata...)
dar este foarte important pentru mersul (de mai incolo) al gandirii cum stau lucrurile.

Daca e tema de vacanta atunci avem timp lung de sporovait... E bine.

La primul punct:
Este clar modul in care se aplica inductia?
Cu riscul de a nu demonstra prin inductie, ci prin convingere (ceea ce nu este o demonstratie), o sa scriu explicit mai jos cateva formule.

(Eu o sa scriu lucrurile de asa natura incat esenta jocului sa fie usor de perceput, dupa aceea vom vedea ca demonstratia riguroasa este arida si aparent departe de cele aproape de intelegere... ).

Imi dau drumul la formule:

si asa mai departe. Revin la scrisul normal.

Sa zicem ca stim ca E(1,x) este un numar intreg.

Din relatia care il are pe E(2,x) in boxa vedem ca E(2,x) este de asemenea un numar intreg.
(Folosim faptul ca o putere a lui E(1,x) e in ZZ.)

Din relatia care il are pe E(3,x) in boxa vedem ca E(3,x) este de asemenea un numar intreg.
(Folosim faptul ca o putere a lui E(1,x) si de asemenea E(1,x) sunt in ZZ.)

Din relatia care il are pe E(4,x) in boxa vedem ca E(4,x) este de asemenea un numar intreg.
(Folosim faptul ca o putere a lui E(1,x) si de asemenea E(2,x) sunt in ZZ.)

Din relatia care il are pe E(5,x) in boxa vedem ca E(5,x) este de asemenea un numar intreg.
(Folosim faptul ca o putere a lui E(1,x) si de asemenea E(3,x), E(1,x) sunt in ZZ.)

Din relatia care il are pe E(6,x) in boxa vedem ca E(6,x) este de asemenea un numar intreg.
(Folosim faptul ca o putere a lui E(1,x) si de asemenea E(4,x),E(2,x) sunt in ZZ.)

...

Sper ca e clar cum merg lucrurile mai departe si ca partea cu convingerea s-a terminat.
Cum punem acum riguros pe hartie demonstratia prin inductie a propozitiei...
Care propozitie o demonstram prin inductie (matematica (standard))?

Am reusit sa rezolv problema. Nu am folosit totusi atat de mult binomul lui Newton, ci doar pentru a arata la punctul 2. ca daca p divide E(p,x) atunci divide si E(1,x).Ideea de a folosi inductia insa m-a ajutat, va multumesc frumos!