Care este num rul maxim posibil de axe de simetrie pe
care le poate avea o mulµime de n>= 2 puncte distincte în plan?

Care este sursa problemei?
Care este autorul?
Care este miza (rezolvare de tema, calificare la concursul X, castig de pariu, incercare de intelegere, concurs cu n², etc)?

http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=34609

Problema am primit-o la scoala. Ideea este ca nu stiu sa o rezolv. Pur si simplu vreau sa o inteleg.

Excelent!
Ne aflam in cazul optimal!
Incerc sa mijlocesc intelegerea, trebuie insa sa spun de la inceput ca problema nu este simpla iar impartirea ei in pasi "mici" (baby steps) nu este usoara.

In linkul de mai sus am incercat sa fac o colectie de astfel de pasi,
dar cel ce a initiat curiozitatea nu a mai raspuns.

Structura este aparent "pur geometrica", exista o parte de teoria grupurilor care este de asemenea parte din intelegere. Nu stiu daca asa ceva a fost facut deja la clasa. In orice caz, daca in matematica si mai ales in fizica apare cuvantul simetrie, el se refera la un grup (la actiunea unui grup pe o multime).

O sa ajungem destul de repede la grupuri.
Insa pentru inceput sa ne plasam in pozitia in care putem vedea un grup de simetii mai usor.

Sa incercam impreuna sa aratam mai intai ca toate axele de simetrie trec printr-un punct.
Reducere la absurd.
Daca acest lucru nu este adevarat, gasim trei axe neconcurente.
Ele formeaza triunghiul (nedegenerat) pe care il notam cu ABC.
Dreptele AB,BC,CA impart atunci planul in cateva parti.
Notam pentru comoditate aceste drepte cu c,a,b.

Notam in general pentru o dreapta d din planul (P) al lui ABC cu
R(d) : (P) -> (P)
reflexia fata de d. (Ea lasa pe loc punctele de pe d, pastreaza distantele si schimba ca multime intre ele cele doua semiplane deschise determinate de d.)

O prima intrebare importanta.
(1)
Cum se poate descrie compunerea

R(a) R(b)

ca aplicatie din planul (P) in planul (P) ?

(Ce este R(a) R(b) R(a) , conjugata lui R(b) prin R(a) ?)

(2)
Sa zicem acum ca unul dintre cele n puncte este X si se afla in interiorul lui ABC.
Putem construi cumva prin reflexii repetate ale lui X un sir infinit de puncte?
Putem construi cumva o infinitate de axe de simetrie chiar?
De aici am da o contradictie cu finitudinea numarului de puncte ce au axele de simetrie a,b,c ...

Aici sunt doua intrebari pe care trebuie sa le clarificam intai.



N.B. Eu inteleg ca problema a venit la clasa si se scrie usor pe tabla, rezolvarea necesita o disciplina deosebita. De asemenea, cineva trebuie sa scrie propozitii. Nu le scriu pe toate la un loc tocmai pentru ca ma tem ca se vor citi intai ultimele, iar apoi se va renunta la inceput. Nu pot promite aici decat faptul ca problema ne va aduce sa intelegem o structura importanta in matematica, anume grupul diedru.
Da un exemplu de grup diedru, care poate ajuta intelegerea "simetriei".
Mentionez aici ca o "simetrie" in fizica este o "miscare" (aplicatie bijectiva) a spatiului fizic (plan, spatiu, spatiu-timp (Minkowskian), etc) care conserva "distantele" masurate in fizica respectiva. In acest sens, o rotatie este o "simetrie". Nu numai axele de simetrie sunt legate de "simetrii", ci toate miscarile (discrete sau continue) ale spatiului in cauza.

Si acum la exemplul de grup diedru.
Sa consideram un triunghi echilateral cu axele de simetrie (inaltimile,medianele...) pe dreptele h,k,l concurente in O, centrul de simetrie al triunghiului. Desigur ca notam varfurile triunghiului cu 1,2,3.
Atunci R(h), R(k), R(l) actioneaza pe multimea {1,2,3} ca permutari, aplicatiile restrictionate, le notam tot asa, in acelasi timp putand sa scriem si forma de permutare. Dam de transpozitiile
(12), (23), (13) .
Compunerile conduc la () , (123), (132) , cele trei rotatii (0 grade, 120 de grade, 240 de grade poate in aceasta ordine) ce lasa in pace triunghiul cu varfurile 1,2,3.
Acest grup este D(6), grupul diedru cu 6 elemente, izomorf cu S(3) grupul permutarilor celor 3 varfuri...

Sa ne legam acum de patratul cu varfurile 1,2,3,4 plasate ciclic in aceasta ordine. Simetriile sunt (24), (13) (diagonal) si (12)(34), (14)(23) .
Daca le compunem si le compunem si le compunem pana nu mai dam de permutari noi, de cate permutari dam? Care sunt acestea?

Cu tot respectul, nu am raspuns la intrebari pentru ca nu am stiut .N-am cunostinte din teoria grupurilor si nici nu prea am facaut probleme cu axe de simetrie..

Cunostintele nu sunt asa de importante.

Matematica este un teritoriu deschis, desigur este mult mai usor daca ceva vine de pe o banda rulanta, dar este parte din fantasticul din viata a pasi pe partea cu micile descoperiri. (Desigur, in viata din cunoscutul joc "Afara", joc cu o grafica deosebita, efectul este de nedescris. Stiu, jocul a intrat in uitare in ultima vreme, iar matematica nu are nici o sansa fata de concurenta.)

Ajunge sa mi se spuna ca granita este totusi putin prea departe, atunci revin cu o granita mai apropiata.
Cunostintele de teoria grupurilor nu sunt neaparat necesare.
O prima informatie care poate mai reduce din complexitate este faptul ca orice grup finit se scufunda (se duce injectiv) intr-un grup de permutari, iar la noi grupurile ce apar sunt relativ mici.
Oricine a tinut in mana un cub Rubik si a facut cateva experiente intelege despre ce este vorba. E o prima experienta de "necomutativitate" (in cazul cubului Rubik este vorba de o experienta brutala pentru o prima aproximare a intelegerii).

Permuarile sunt si ele functii.
Asadar, ajunge la inceput sa intelegem cam cum "opereaza" cele cateva "simetrii" (reflexii fata de axe de simetrie - si nu numai) pe cele cateva puncte.

Un prim lucru important este de a intelege ce este

T = R(a) R(b)

pentru doua drepte a, b din plan care se taie intr-un punct C.
Aici, R(a) este reflexia fata de dreapta a.
Obtinem tot o aplicatie care pastreaza distantele, asa cum sunt R(a) si R(b).
(Acest lucru este foarte important, miscarile planului trebuie vazute.)

Ce face T-ul de mai sus cu
- punctul C, adica ce este T(C), uneori scris simplu T C ca sa mai scapam de paranteze de prisos
- cu punctele de pe dreapta b
- cu punctele de pe dreapta a
?

Cum se poate descrie T?

Urmatoarea intrebare care are legatura cu problema este:
Ce este R(a) R(b) R(a) ?

Consider ca acestea sunt doua intrebari simple care pot fi usor si benefic transate.

Rog a se intelege si pozitia pe care ma aflu cand raspund, problema data se formuleaza usor, asa cum am formula la nivel de clasa a IV-a (sau a V-a pentru cei mai milostivi) problema
"in cate moduri se poate scrie 20 ca suma de trei numere (naturale de la 1 incolo)?"
dar solutia presupune o maturitate matematica improprie gimnaziului...
Asa este si in cazul nostru, mai intai trebuie adunata o experienta anume, cateva fapte disparate, iar apoi totul se imbina usor si simplu.
Pozitia de pe care raspund este cea in care nu stiu de unde vine problema, care este interesul pentru rezolvare si ce pot presupune. Inca o data, comunicarea este in matematica, dar mai ales in viata de zi cu zi, cu parintii, prietenii si cei cu care ne impartim viata, un lucru foarte important. Da, putem sa ne sustragem de la a da informatie uneori, daca nu avem incredere este ceea ce recomand, dar la un moment dat balanta trebuie restabilita. A nu se confunda atitudinea de a fi "cool" (si gol de multe ori) cu imaginea lui Humphrey Bogart din Casablanca (un tip mai degraba rece de om, care comunica prin fapte si decizii) cu viata de zi cu zi, de la 40 de ani incolo, cand cicatricile anilor se vad asa sau asa, acesta este un mecanism de aparare.
Problemele nu sunt asa de importante, ci intelegerea si trecerea peste ele.
Fiecare decide cand o problema este terminata. In orice caz, daca o problema ceruta se pierde in sirul de multe altele ca un beduin in Sahara, ramane mereu un fel de gust amar si de nesiguranta. Nesiguranta de partea mea este, am raspuns la un nivel prea inalt, trebuia sa fiu mai intelegator, era bine sa iau solutia arida (care ascunde strucura), e bine sa proclam in cazul respectiv ca nu solutia scrisa exact de 10 puncte conteaza in acest caz ci intelegerea si trecera de cateva borne de kilometraj de pe drum, ... ?
Pe ambele parti situatia ar fi mult mai usoara daca informatia necesara sau cea de fond ar veni cumva la mine sau la ceilalti ce trec pe aici. Asa se procedeaza cel mai bine pe aici, dar si "afara" - sa nu uitam ca matematica deschide o poarta mare pentru lumea mare, fiecare din cei ce trec pe aici sau nu si inteleg matematica, fiecare are o sansa usoara sa isi aranjeze viata in mod uman. Mie mi s-a intamplat de exemplu sa iau un tren cu o singura valiza in mana intr-o directie complet necunoscuta si in cativa ani, de asemenea prin munca, sa ajung la o viata decenta asa cum mi-o doresc. Matematica nu a ajuns, dar a fost partea esentiala.
A trebuit sa formulez muuulte propozitii singur si sa semnalizez tot ce era important, pana cand unul dintre semnale a dat roade. Este ceea ce spun la nivel de comunicare si tenacitate. Elevii nici nu-si pot imagina cat de usor este sa se puna, sa zicem cinci dintre ei intr-o grupa disciplinata, pe carte si sa castige o experienta care sa fie o concurenta reala a celei celui de la catedra. Dar e nevoie de munca, disciplina si tenacitate. (Pentru cei nascuti in Japonia acestea sunt caracteristici naturale ale vietii. Pentru cei nascuti in Romania de azi, intr-o lume cu valori la alegere, toate la un loc si niciuna de durata, lucrurile sunt mai grele.) Ei bine, si intr-o astfel de grupa, comunicarea este lucrul esential. Organizarea materiei este uneori mai grea decat intelegerea. Iar in organizare apar mereu aceleasi probleme: ce stiu ceilalti patru, ce informatie importanta poate ca le lipseste...

Ma opresc aici, rugamintea este mereu de a nu lasa o problema sa se piarda in Sahara din motive de nesiguranta. Nimic nu se poate pierde, aici oamenii vin cu numele pe care si l-au ales singuri si doar cu literele pe care le tiparesc de buna voie.