Laturile trapezului laterale au lungimile de 3 cm si 5 cm .Se stie ca in trapez poate fi inscris un cerc .Linia mijlocie a trapezului il imparte in doua parti , raportul ariilor carora este 5/11.Sa se afle bazele trapezului.

Problema vine in stil foarte compact, trebuie sa o reformulez, incat notatiile sa fie deja in ea:

[Citat] Se da trapezul ABCD cu laturile paralele BC || DA . Laturile laterale au lungimile: AB de 3 cm si CD de 5 cm . Se stie ca in trapez poate fi inscris un cerc de centru O si raza R. Sa notam cu M,N,P,Q punctele de tangenta cu laturile AB, BC, CD si respectiv DA. Linia mijlocie a trapezului il imparte in doua parti, raportul ariilor carora este 5/11. Sa se afle lungimile bazelor trapezului.

Sper ca este clar ca vom incerca sa vedem de ce jaloane algebrice (necunoscute, variabile) depinde problema si sa incercam sa scriem ecuatii care le restrang din libera plimbare pana dam de unicitatea solutiei.

R este desigur o variabila pe care nu putem sa o lasam la o parte, cu atat mai mult cu cat diametrul NQ de lungime 2R este perpendicular pe baze, deci este inaltimea, de care trebuie mai devreme sau mai tarziu sa ne legam cumva.

Sa notam cu s,t,u,v lungimile segmetelor urmatoare:

s = AM = AQ
t = BM = BN
u = CN = CP
v = DP = DQ

Le consideram si pe acestea a fi necunoscute.
Avem in momentul de fata 5 necunoscute, anume R,s,t,u,v, si cautam 5 ecuatii (independente) prin analiza datelor problemei.

Imi pare rau, o sa le scriu eu pe cele mai usoare (si las la o parte acei "cm"):
s + t = AM + BM = AB = 3
u + v = CP + DP = CD = 5

Linia mijlocie a trapezului este (de lungime) media aritmetica a lungimilor bazelor, deci
( BC + AD ) / 2 = ( (t+u) + (v+s) ) / 2 = ? .
De aici se face repede rost de o ecuatie in s,t,u,v care sa-l fructifice pe 5/11.

Sa observam ca mai avem doua ecuatii de tip "Pitagora" din cele doua trapeze dreptunghice formate pe diametrul NQ...

In acest fel putem scrie un sistem de 5 ecuatii (independente cu speranta omului care scrie si vede) cu 5 necunoscute.

Deoarece postarea initiala a cerut "doar" ajutor (lucrul cel mai important pentru intelegere), sunt obligat sa ma opresc aici. Care este solutia?

(Sunt cumva doua solutii care sa corespunda unor trapeze de forma
AAA
si de forma
AAW ? In primul caz, unghiurile din A si D sunt obtuze. In al doilea, cele din A si C iar trapezul "arata ca un paralelogram usor turtit"...)