Fie D piciorul bisectoarei interioare a unghiului a al triunghiului ABC. Paralela din D la AC taie AB in punctul E, iar paralela din D la AB taie AC in punctul F. Dreptele CE si BF se taie in punctul M. Sa se arate ca patrulaterul AEMF si triunghiul BMC au arii egale.

Nu am cautat solutia cea mai scurta, o dau pe cea ce am scris-o din prima pe hartie.

[Citat] Fie D piciorul bisectoarei interioare a unghiului a al triunghiului ABC. Paralela din D la AC taie AB in punctul E, iar paralela din D la AB taie AC in punctul F. Dreptele CE si BF se taie in punctul M. Sa se arate ca patrulaterul AEMF si triunghiul BMC au arii egale.

Ideea consta in a arata ca triunghiurile ABF si BCE sunt echivalente.

Apoi, daca vom scadea din suprafata fiecarui triunghi aria lui BME,

se obtine echivalen?a cerut? în problem?.

Se constata ca AEDF este paralelogram cu diagonala AD=bisectoare, atunci AEDF este un romb, deci AE=AF.

Notam a, b, c lungimile laturilor lui ABC si AE=AF = x,


atunci BE=c-x, CF=b-x. Sa mai notam BD=y, deci DC=a-y.


Vom determina raportul S[ABF]/S[BCE].

Cu notatiile fixate anterior, rezulta

S[ABF]=c.x.sinA/ 2, S[BCE]=a.(c-x).sinB/ 2

si , folosind T.sinus in ABC, din care scoatem sinA/sinB=a/b,

se va obtine: S[ABF]/S[BCE]=c.x/(c-x).b (1)

Din T.Thales pentru ED||AC si pentru DE||AB obtinem b/x=c/(c-x) (2)

Din (1), (2) rezulta S[ABF]/S[BCE] = 1

Uploaded with ImageShack.us

Fie G, H si I proiectiile punctelor F,C,respectiv D pe latura AB.
Din t. bis:

Din asemanarea triunghiurilor dreptunghice

si

obtinem:

Cu Thales:

(Am folosit faptul ca IDFG este dreptunghi.)


Se scade din fiecare

si rezulta concluzia.