f(x) = (2x + e la x ) / ( x patrat + e la x + 3)

Calc lim cand x-> -infinit din 1/x ori integrala de la 0 la x din t f(t) dt


Am facut integrare prin parti iar prima bucata va tinde la infinit. Pot aproxima grosier ca partea a doua va tinde la 0? sau mai pot scoate ceva din partea a doua?

[Citat] f(x) = (2x + e la x ) / ( x patrat + e la x + 3) Calc lim cand x-> -infinit din 1/x ori integrala de la 0 la x din t f(t) dt Am facut integrare prin parti iar prima bucata va tinde la infinit. Pot aproxima grosier ca partea a doua va tinde la 0? sau mai pot scoate ceva din partea a doua?

Trebuie sa tipareasc problema asa incat sa vedem mai bine despre ce este vorba:

(Tiparitul imi ia mai mult decat rezolvarea.)
Nu pot sa accentuez importanta tiparitului decat prezentand solutia in forma grosiera.

Primul lucru care este important pentru cei cu ochelari este sa vada ca este vorba de o limita spre MINUS infinit. In acest caz, e la x este o cantitate ce se majoreaza si minoreaza usor, pentru x in ( -oo , 0 ] e la x se afla in (0,1].
Functia data are numaratorul si numitorul poxitivi, se poate incadra intre
(2x + 1 ) / ( x patrat + 0 + 1)
si
(2x + 0 ) / ( x patrat + 1 + 3)
Ramane sa calculam doua integrale (sau sa minoram si majoram mai departe).

sage: var( 't,x' );
sage: assume( x<0 );
sage: integrate( ( 2*t+1 )*t / (t^2+1) , (t,0,x) )
2*x + 1/2*log(x^2 + 1) - 2*arctan(x)
sage: integrate( ( 2*t+0 )*t / (t^2+1+3) , (t,0,x) )
2*x - 4*arctan(1/2*x)

Dupa ce impartim cu x vedem ca ambele integrale (impartite cu x) converg 2 pentru x spre -oo . Criteriul clestelui (Sandwich) ne spune ca limita L de la care am plecat (exista si) are valoarea L=2.

(2x+0)/(x^2+1+3)?(2x+e^x)/(x^2+e^x+3)?(2x+1)/(x^2+0+3)
apoi
2x/(x^2+4)?(2x+e^x)/(x^2+e^x+3)?(2x+1)/(x^2+3)
Integram 2x/(x^2+4)?(2x+e^x)/(x^2+e^x+3)?(2x+1)/(x^2+3)
?_0^x?2t/(t^2+4)dt < ?_0^x?(2t+e^t)/(t^2+e^t+3)dt <?_0^x?(2t+1)/(t^2+3)dt

ln(t^2+4) (de la 0 la x)< ???? < ln(t^2+3) + 1/?3arctg(t/?3) (de la 0 la x)
ln (x^2+4)/4 < ?? < ln(x^2+3)/3 +?
impartim prin x
(ln (x^2+4)/4 )/x < ?? < (ln (x^2+3)/3 )/x +?
Trecem la limita si facem l?Hopital.

lim?(x?-?)??2x/(x^2+4)? < ?.<lim(x?-?)??2x/(x^2+3)?
Iar prin criteriul clestelui ajung la 0. Sper ca nu am gresit la calcul.

Mersi pentru idee Gauss.

Cele de mai sus nu au fost usor de urmarit.
(Imi pare rau, nu oferim decat latex aici, ar trebui sa ajunga si ajuta in viata... Cel din urma este motivul pentru care am ales latex ca mod intermediar de plasare.)

Din cate vad, se rezolva alta problema.
Anume cea in care t-ul de mai jos dispare.

[Citat] f(x) = (2x + e la x ) / ( x patrat + e la x + 3) Calc lim cand x-> -infinit din 1/x ori integrala de la 0 la x din t f(t) dt

(In matematica forma nu este importanta pentru intelegere, ci pentru simplitatea descrieri, pentru educarea propriului mod de gandire, pentru comunicare si pentru minimizarea "riscului operational".)