Consideram numerele complexe distincte z1, z2, z3 de modul 1astfel incat (z1*z2)/[(z1-z2)(z1-z2)]+(z2*z3)/[(z2-z3)(z2-z3)]+(z3*z1)/[(z3-z1)(z3-z1)]=-1. Sa se ddemonstreze ca zi, z2, z3 sunt afixele varfurilor unui triunghi echilateral.

Eu chiar nu stiu sa o fac!...

[Citat] Consideram numerele complexe distincte z1, z2, z3 de modul 1astfel incat (z1*z2)/[(z1-z2)(z1-z2)]+(z2*z3)/[(z2-z3)(z2-z3)]+(z3*z1)/[(z3-z1)(z3-z1)]=-1. Sa se ddemonstreze ca zi, z2, z3 sunt afixele varfurilor unui triunghi echilateral. Eu chiar nu stiu sa o fac!...

Problema a mai aparut nu de mult pe site, rezolvarea data se baza pe descompunerea de care fac rost cu calculatorul in mod usor:
(Cod sage)

Folosesc litere normale z,v,w pentru cele trei puncte din planul complex.

var( 'z,v,w' )
p( z,v ) = z*v / (z-v)^2 ;
factor( p(z,v) + p(v,w) + p(w,z) + 1 )

(v^2 - v*w - v*z + w^2 - w*z + z^2)*(v^2*w^2 - v^2*w*z + v^2*z^2 - v*w^2*z - v*w*z^2 + w^2*z^2)/((w - z)^2*(v - z)^2*(v - w)^2)

De aici, daca definim polinomul de gradul doi in Z,V,W dat de
q( Z,V,W ) = ZZ + VV + WW - ZV - VW - WZ
atunci dam
- fie de anularea lui p(z,v,w)
- fie de anularea lui p(zv,vw,wz) .

Ajunge sa intelegem doar primul caz, deoarece al doilea este "cam acelasi".
O posibilitate de rezolvare a primului caz este descompunerea "mai departe" ca
( z + ev + eew ) ( z + eev + ew ) unde e este o radacina primitiva de ordinul 3 a unitatii, de exemplu e = ( -1 + i radical(3) )/2 .
O alta posibilitate este de a vedea ca din q(z,v,w) = 0 rezulta
q(z,v,w) (z+v+w) = 0 , i.e.
zzz + vvv + www = 3 zvw .

Fara a restrange generalitatea, z=1. (Altfel rotim cele trei puncte in jurul lui O pe centrul unitate.) Din cele de mai sus

3 = 3|zvw| = | zzz + vvv + www |
cu inegalitatea triunghiului putem majora cu
| zzz | + | vvv | + | www | = 3
si mai trebuie sa stim cand are loc egalitatea in cele de mai sus.
Rezulta ca 1=zzz, vvv si www sunt pe aceeasi semidreapta din O, deci pe axa reala, deci 1=zzz=vvv=www
si de aici nu mai e mult pana la sfarsit.