Fie x; y; z>=0 astfel încât x^2 + yz>=1; y^2 + xz>=1 si
z^2 + xy>=1. S  se arate ca  x + y + z>=2.

Problema este pusa la bataie in sensul ca i se cunoaste solutia?

Sau de fapt se cere solutia?
In ultimul caz sectiunea potrivita este cea cu
[Cereri de probleme]
Probabil ca asa stau lucrurile.


In fine, incerc sa rezolv ceva ce am mai rezolvat o data pe pagina undeva.
Fara a restrange generalitatea putem lua

0 <= x <= y <= z .

Ne uitam la cele trei expresii
xx - yz , yy - xz , zz - xy .

Deoarece diferentele
( zz - xy ) - ( xx - yz ) = (z-x)( z+x - y ) >= 0
( zz - xy ) - ( yy - xz ) = (z-y)( z+y - x ) >= 0
sunt mai mari sau egale ca zero,
in incercarea de a vedea care din numerele ramase este mai mic, ajunge sa ne legam de

( yy - xz ) - ( xx - yz )
= (y-x) ( y+x - z )

semnul ultimei expresii fiind asadar dat de cel al expresiei y+x - z .
De aceea separam doua cazuri si vedem ce mai facem.
De ce ne-a usurat acest pas rezolvarea problemei?
Poate ca deoarece avem o singura inegalitate "complicata"...

Primul caz, cel in care avem
0 <= x <= y <= z <= x+y .

Atunci ( yy - xz ) - ( xx - yz ) = (y-x) ( y+x - z ) >= 0 ,
deci ajunge sa mai impunem singura conditie "greu de scris"
xx + yz >= 1 .

Daca numarul de mai sus este cumva >1 , sa zicem ca este aa cu a>1,
atunci dam de "aceeasi situatie" inlocuind
x,y,z respectiv prin x/a, y/a, z/a
insa avem xx + yz = 1 , o egalitate,
si suma x+y+z devine mai mica.

De aceea putem presupune fara a restrange generalitatea ca avem
0 <= x <= y <= z <= x+y
si
xx + yz = 1 .

Incercam sa vedem ca x+y+z este cel putin 2. Voi da solutia care nu face nici un fel de trucaje.
(Desigur ca y nu este zero.) De aceea avem z = (1-xx)/y .

Noi inca ne straduim sa aratam ca x + y + z >= 2 .
Adica: x + y + (1-xx)/y >= 2 .
Ne uitam la functia de mai sus ca la o functie de gradul II in x .
Maximul ei se obtine in x = y/2, axa de simetrie a parabolei .
Minimul ei, ceea ce ne intereseaza, se obtine in x = 0 si/sau x = y, caz in care dam de inegalitatea de demonstrat:
y + 1/y >= 2 .

Aceasta este adevarata pentru orice y numar real >0.
(Poate ca este bine sa vedem ca egalitatea are loc mai sus daca si numai daca y=1. Atunci putem lua x = 0, de unde z = (1-00)/1 = 1.
Sau putem lua x = 1, de unde z = (1-1x1)/1 = 0, mai greu.)

Mai avem un caz:

Al doilea caz, cel in care avem
0 <= x <= y <= x+y <= z .

Atunci ( yy - xz ) - ( xx - yz ) = (y-x) ( y+x - z ) <= 0 ,
deci ajunge sa mai impunem singura conditie "greu de scris"
yy + xz >= 1 .

Fara a restrange generalitatea ca avem
yy + xz = 1 .

Incercam sa vedem ca x+y+z este cel putin 2.
Voi da din nou solutia care nu face nici un fel de trucaje.
Care se obtine prin copiere maxima din cele de mai sus.

Cum poate arata ea?

(Desigur ca z nu este zero.) De aceea avem x = (1-yy)/z .

Noi inca ne straduim sa aratam ca x + y + z >= 2 .
Adica: (1-yy)/z + y + z >= 2 .
Ne uitam la functia de mai sus ca la o functie de gradul II in y .
Maximul ei se obtine in y = z/2, axa de simetrie a parabolei .
Minimul ei, ceea ce ne intereseaza, se obtine in y = 0 si/sau y = z, caz in care dam de inegalitatea de demonstrat:
1/z + z >= 2 .

Aceasta este adevarata pentru orice z numar real >0.
(Poate ca este bine sa vedem ca egalitatea are loc mai sus daca si numai daca z=1. Atunci putem lua y = z, de unde x = (1-00)/1 = 1.
Sau putem lua y = 0, de unde x = (1-1x1)/1 = 0, mai greu.)

Multumesc mult.