Intr-o clasa sunt 30 de elevi, care primesc 3 carti diferite(a,b,c):
18 elevi primesc "a"
14 elevi primesc "b"
12 elevi primesc "c"
6 elevi primesc "a+b"
5 elevi primesc "b+c"
8 elevi primesc "a+c"
3 elevi primesc 0.
Cati elevi primesc a,b,c?

[Citat] Intr-o clasa sunt 30 de elevi, care primesc 3 carti diferite(a,b,c): 18 elevi primesc "a" 14 elevi primesc "b" 12 elevi primesc "c" 6 elevi primesc "a+b" 5 elevi primesc "b+c" 8 elevi primesc "a+c" 3 elevi primesc 0. Cati elevi primesc a,b,c?

Asta numai problema de clasa a IV-a nu este...
(Sau daca este, atunci este o nostima introducere precoce a principiului includerii si excluderii.)

In primul rand, cam cum s-ar putea face.
Se deseneaza trei cercuri (discuri) mari in care fiecare il intersecteaza pe fiecare. (Diagrame Venn-Euler.) Eu nu pot aici, dar voi incerca ceva.

AAAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAA
AAAAAAAAVVVVVCCCCCCC
AAAAAAAAVVVVVCCCCCCC
AAAAAAXXXXXXXXXCCCCC
UUUUUUXXXXXXXXXCCCCC
UUUUUUXXXXXXXXXCCCCC
BBBBBBXXXXXXXXXCCCCC
BBBBBBBBWWWWWCCCCCCC
BBBBBBBBWWWWWCCCCCCC
BBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBB

(Am colorat ce-am putut... Mai am nevoie de culori, dar...)

Am marcar cu A,B,C partea din diagrama ce corespunde NUMAI lui a, respectiv b, respectiv c.
U sta pentru a+b.
V sta pentru a+c.
W sta pentru b+c.
X sta pentru a+b+c.

Ideea de rezolvare este de a descoperi cate elemente sunt in partile "simple", anume acolo unde sta cate o litera A,B,C, U,V,W, X .
(Aceste parti simple formeaza o "partitie" a multimii.)

Sa vad ce pot face la nivel de a IV-a.

Din cate inteleg 30 - 3 = 27 de elevi au primit cel putin o carte.
Acestia sunt deci cei ce apar "pe ecran".

(De pasul acesta nu este nevoie, dar eu vrea mereu sa (imi) fie clar ce se da.)
Ne uitam mai indeaproape la informatia data:

18 elevi primesc "a" - avem 18 elevi ce corespund literelor A,U,V,X
14 elevi primesc "b" - avem 14 elevi ce corespund literelor B,U,W,X
12 elevi primesc "c" - avem 12 elevi ce corespund literelor C,V,W,X

6 elevi primesc "a+b" - avem 6 elevi ce corespund literelor U,X
8 elevi primesc "a+c" - avem 8 elevi ce corespund literelor W,X
5 elevi primesc "b+c" - avem 5 elevi ce corespund literelor V,X

??? elevi primesc "a+b+c" - avem ??? elevi ce corespund literei X

De aici, solutia pe care o recomand pentru clasa a IV-a este cea "babeasca".
In X vor fi cel mult 5 elevi. Asadar incercam cu 0,1,2,3,4,5.
(Avem un numar mic de cazuri, fiecare caz are o reconstruire simpla.)
O sa revin la sfarsit.

Solutia care simuleaza principiul includerii si al excluderii este urmatoarea.
Luam la un loc si "numaram" elevii ce corespund lui
"a" , lui "b" si lui "c".
In suma 18 + 14 + 12 = 30 + 14 = 44 (mai mare cu 17 decat 27)
am "numarat" insa de TREI ori elevii din "a+b+c" si daca-i dam la o parte,
am "numarat" de DOUA ori din ceilalti elevi pe cei din "a+b", din "a+c", din "b+c".

Deci surplusul de 17 elevi vine din numararea excesiva. Anume, aici sunt numarati
de DOUA ori elevii din "a+b+c" si daca-i dam la o parte,
exact O DATA ditre ceilalti elevi pe cei din "a+b", din "a+c", din "b+c".

Pai sa-i scadem pe cei 6 + 8 + 5 = 19 elevi de aici.
(Cer scuze, dam de 17 - 19 = -2... asa ca trebuie sa oblojesc propozitia.)
Surplusul de 19-17 = 2 elevi corespunde deci celor numarati de doua ori.

Deci doi elevi au primit toate cele trei carti.

Solutia de combinatorica, de clasa a X-a cred, este intr-o linie, se aplica principiul includerii si al excluderii, se izoleaza ??? din

27 = (18+14+12) - (6+8+5) + ??? .

Revin la solutia babeasca. (Care trebuie neaparat incercata cu 1,2,3 elevi ce ar putea fi primit toate cele trei carti.)

Se face diagrama Venn-Euler "goala". Trei cercuri / discuri care se intersecteaza intr-o protiune.

Eu incerc cu plasarea lui 2 in zona X (comuna celor trei discuri).
Scriu pe scurt:

X -> 2 .

Din
6 elevi primesc "a+b" - avem 6 elevi ce corespund literelor U,X
8 elevi primesc "a+c" - avem 8 elevi ce corespund literelor W,X
5 elevi primesc "b+c" - avem 5 elevi ce corespund literelor V,X

rezulta ca plasam
U -> 6-2 = 4 ,
V -> 3 ,
W -> 6 .

Mai ramane de valorificat informatia din

18 elevi primesc "a" - avem 18 elevi ce corespund literelor A,U,V,X
14 elevi primesc "b" - avem 14 elevi ce corespund literelor B,U,W,X
12 elevi primesc "c" - avem 12 elevi ce corespund literelor C,V,W,X

rezulta ca plasam
A -> 18 - 4(U) - 3(V) - 2(X) = 18-9 = 9 ,
B -> 14 - 4(U) - 6(W) - 2(X) = 14-12 = 2 ,
C -> 12 - 3(V) - 6(W) - 2(X) = 12-11 = 1 .

Si acum facem proba, numarand elevii (care ao primit carti) exact o data pe fiecare.
Avem in total

2 + (4+3+6) + (9+2+1) = 2 + 13 + 12 = 27

de elevi ce au primit cel putin o carte.

(Ultimul pas este pentru clasa a X-a un fel de proba.)


Trebuie sa ma termin aici, dar daca sunt intrebari, rog, fara retineri...
(Am dat solutia care este cea mai buna pentru dezvoltarea matematica...)

Uploaded with ImageShack.us

Cosul Cu Probleme 5 _ 6


Concursul Interjude?ean ?Cristian S. Calude?
30 octombrie 2004

11. Într-o clas? sunt 30 de elevi care primesc trei c?r?i diferite: A,B,C.

Dintre ace?tia 18 primesc cartea A, 14 primesc cartea B ?i 12 primesc cartea C;

6 primesc c?r?ile A ?i B, 5 primesc c?r?ile B ?i C, 8 primesc c?r?ile A ?i C

?i 3 nu primesc nici o carte.

Câ?i elevi au primit toate cele trei c?r?i?

Axioma supliment matematic nr. 29


Clasa a IV -a

4. Într-o clas? sunt 30 de elevi care primesc trei c?r?i diferite: A,B,C.

Dintre ace?tia 18 primesc cartea A, 14 primesc cartea B ?i 12 primesc cartea C;

6 primesc c?r?ile A ?i B, 5 primesc c?r?ile B ?i C, 8 primesc c?r?ile A ?i C

?i 3 nu primesc nici o carte.

Câ?i elevi au primit toate cele trei c?r?i?

Maria Avram, Ploie?ti


Trebuie vazut de ce s-a facut tranferul de la clasa a 6-a la clasa a 4-a,

cu ce scop, cu ce minima finalitate (la nivel de competente...)

Sau e numai o simpla (dar nu de ignorat !!) confuzie intre VI si IV...

O idee de rezolvare (algebrica)pentru clasa a 6-a, s-ar

rezuma la urmatorul sir de rationamente :

Notez cu x ceea ce caut.

Analizez conditiile problemei si obtin succesiunea de rezultate :

(a, b, c) ? x

(a, b) ? 6-x

(b, c) ? 5-x

(c, a) ? 8-x

a ? 4+x

b ? 3+x

c ? -1 +x



Si 27 de elevi primesc carti, dupa regula din textul problemei.