Trebuie sa demonstrez urmatorul rezultat:

Se da o functie

care are poprietatea ca

.

e o multime deschisa si marginita din

iar Y este cubul unitate din acelasi spatiu,

este spatiul functiilor continue pe Y. Evident

,

,

. In concluzie

poate fi privita ca functie de doua variabile.

Trebuie sa arat ca pt orice y din Y, aplicatia

este masurabila pe

Mi se da o indicatie catre demonstratie, mai exact un rezultat pe care sa il aplic, insa eu nu vad cum pot sa il aplic.

Rezultatul este:

" daca f(x) este o funtie definita pe

cu valori intr-un spatiu Banach E, si

e o multime numarabila, slab* densa (densa in convergenta slaba*) in dualul E' al lui E atunci functia f este masurabila daca si numai daca fiecare functie

este masurabila."

De asemenea mi se spune ca in cazul meu

este familia masurilor Dirac in punctele rationale ale lui Y si evident E=C(Y).

Problema pe care o intampin e ca trebuie sa scriu explicit cina vor fi functiile

si cum aplic rezultatul.

Va multumesc anticipat!

Enuntul mi-e din pacate putin neclar.
Incerc sa il rescriu incat orice litera sa nu fie folosita inainte de introducerea ei. Deci situatia e urmatoarea:

Bun, acum trebuie sa mi se mai dea ceva legat si de dependenta in x a functiei psi, altfel nu am nici o sansa.
Probabil ca am scapat eu ceva din cele date mai sus.

(Nu inteleg de ce lucrurile au ajuns asa de dezlanate in Romania. Incepand cu problemele de clasa a IV-a si terminand cu cele de facultate, majoritatea enunturilor sunt cu cadru neclar, cu date neclare, totul fiind o ghicitoare de a le izola si de a le da sens, astfel incat lucrurile sa conduca in directia dorita. In cazul de fata, nu e recomandabil in demonstratia unui rezultat de tip Fubini demonstrat cu ingrediente de analiza functionala, sa ne oprim cu teme abstracte care "elucideaza" un anumit detaliu. Problema este mereu plasarea temei in cadru natural, fara a enumera/izola toate lucrurile legate organic de demonstratie. Probabil ca ma insel cu pronosticul, dar situatia trebuie ca e asemanatoare.)

Cu cele date mai sus doar, imi iau de exemplu pentru y=0 din IR^N functia
psi( x, 0 ) = 1
si pentru toti "ceilalti" y din [0,1]^N ma aranjez la intamplare alegand cate o functie continua , pentru fiecare x psi( x , . ) de la Y la Y .

Sper ca e clar ca nu dau neaparat de ceva masurabil.

Ce am omis din datele problemei?

Excelent, ne apropiem de miezul lucrurilor.

Da...e adevarat ca ipotezele reprezinta un cadru destul de ambiguu... am incercat sa pun problema astfel incat sa evit definirea spatiilor in care lucram pt o editare cat mai scurta...se pare ca nu am reusit...

O sa incerc sa ma exprim mai clar de data asta:

-

este un deschis marginit (N>=2)
-

este cubul unitate deschis din

-o functie

definita aproape peste tot (apt) se numeste Y-periodica daca

unde

este baza canonica din

.
-

- spatiul functiilor continue pe Y

Mai departe variabila care parcurge pe

o vom nota cu

, iar cea care parcurge pe

o vom nota cu

-Definim

- spatiul functiilor continue pe

Y-periodice

-Definim spatiul

multimea functiilor masurabile

care au proprietatea ca

(unde E e un spatiu Banach, iar

este binecunoscutul spatiu Lebesgue, p>=1)

Teorema pe care trebuie sa o demonstrez este urmatoarea:

O functie

se gaseste in

daca si numai daca exista o submultime

de masura nula astfel incat:

1.

aplicatia

e continua si Y-periodica

2.pentru orice y din Y aplicatia

e masurabila pe

3. norma in

a functiei

este finita.


Dupa cum am spus, stiu ca se foloseste urmatorul rezultat:

" daca f(x) este o funtie definita pe

cu valori intr-un spatiu Banach E, si

e o multime numarabila, slab* densa (densa in convergenta slaba*) in dualul E' al lui E atunci functia f este masurabila daca si numai daca fiecare functie

este masurabila."

iar in cazul teoremei pe care trebuie sa o demostrez trebuie sa aplic rezulatul luand

- familia masurilor Dirac in punctele rationale ale lui Y si

.

Cadrul e destul de complex...mi-a luat foarte mul timp doar sa ma acomodez cu notatiile.

De asemenea mi-a fost dificil sa inteleg cum poate sa considere in enuntul teoremei functia

drept functie de doua variabile avand in vedere ca ea e definita doar pe

.

Va multumesc frumos pt efort si imi cer scuze ca nu am fost suficient de clar.