Buna ziua, am si eu cateva probleme privind analiza complexa:
1. sa se arate ca daca

unde

, este olomorfa, atunci

, unde

;

2. Aflati domeniul maxim pe care f e olomorfa:

3. Sa se determine imaginea prin w=ln(z) a urmatoarelor multimi:

a)

b)coroana ciruclara 3<=|z|<=5;

Multumesc!

Eu inteleg ca profesorii scriu problemele cu numar minim de cuvinte, astfel incat fiecare litera ce conteaza apare definita implicit undeva...

Trebuie din pacate sa reformulez.
(Costa timp mai mult decat rezolvarea...)

In principiu, oamenii de la catedra sau scriitorii de culegeri trebuie invatati sa stabileasca cadrul, apoi sa dea ce se da, apoi sa ceara ce se cere.

Nici eu nu respect prea des aceste reguli, dar problema de mai sus este mult prea vanturatic (pro)pusa.

[Citat]

Aplicam ecuatiile Cauchy-Riemann, desigur.
Rezulta ca pentru orice x,y numere reale avem

u'(x) = v'(y) .

Deoarece x si y sunt independente mai sus, rezulta ca cele doua functii u' si v' sunt constante. Constanta este ("de exemplu" data de formula)
C = u'(0) .

Deoarece stim sa integram pe IR (functii cu valori complexe), rezulta ca f este de forma
f( x+iy ) = C(x+iy) + a .

Ramane sa vedem ca C este o constanta reala...

[Citat]

Aici nici macar nu pot sa reformulez...
Cine este ln ?
(Probabil ca in curs se lucreaza doar cu un ln, dar acest ln nu este "universal".)

Probabil ca problema este

"Sa se dea un sens expresiei ln( z^2 + 1 )
ca functie de variabila z
cu UN domeniu de definitie,
astfel incat acest domeniu sa fie maximal."

In acest caz iau eu log a fi ramura logaritmului (inversa functiei exp definita pe intreg planul complex prin seria de puteri clasica, aceasta serie are raza de convergenta plus infinit, deci nu avem probleme),
definita pe planul complex fara semidreapta reala negativa cu 0 cu tot.

Ramane sa vedem pentru care z complex numarul complex 1+zz se afla in domeniul de definitie a lui log de mai sus.
Deci pentru care z complex zz evita semidreapta reala din -1 la -oo .
Scriem z = r ( cos t + i sin t ) .
Atunci zz = rr ( cos(2t) + i sin(2t) ) .

Pentru a evita taietura de la -1 la -oo (pe axa reala) ofer domeniul (ceva deschis in particular) urmator:

D = reuniunea discului unitate deschis cu semiplanul { x+iy : x,y in IR, x>0 } .

Reformulez:

[Citat]

E este o multime inclusa in domeniul de definitie al lui ln, a ramurii alese in problema explicit. Aplicand ln pe expresia
r exp( i pi/6 )
dam de
ln(r) + i pi/6 .

Cand r se plimba pe IR, expresia de mai sus da nastere la dreapta din planul complex de ecuatie y=pi/6 .

(b) F nu se afla in domeniul de definitie a ramurii ln din problema.
Pana cand nu mi se precizeaza ca e vorba de "functia" multivaluata ln nu fac nimic. Pana si cei de la catedra trebuie obligati la o minima disciplina.
Acest ping-pong nu-mi place nici mie, dar ar fi FALS sa scriu ceva de forma

z = r exp( it ) , r,t numere reale, r in [3,5] ,
sa trag un logaritm formal pe asa ceva si sa afirm ca dau de
ln(z) = ln(r) + it
si sa afirm ca dau de intreaga banda verticala de peste si sub intervalul real (i.e. care se proiecteaza in intervalul real) [ ln(3) , ln(5) ] ar fi "solutia".

Problema este: Cum este definit acel ln, astfel incat sa apara chiar it mai sus? (De ce nu cumva "it mutat periodic cu perioada 2pi in intervalul [-pi,pi)" . Atunci din toata banda mai ramane un "mic" dreptunghi.)