sa se rezolve inecuatiile
a) |6x-2| > 3x-5
b) |x-3| + 3x < 4(x-1) + 1
c) 2-3 |1-x| < 6-2 (2+3x)
d) 2( x-|3x+3|) > 5(x-3)

Tema este lunga si lipsita de ceva anume.
Este nevoie doar de forta bruta pentru a intelege despre ce este vorba.

In fiecare caz se "expliciteaza modulul", cu alte cuvinte ne luam in parte cazurile in care ceea ce este sub modul este ceva negativ sau ceva nenegativ (pozitiv sau zero).

La (a) ne uitam la |6x-2| .
Sub modul sta 6x-2.
Unde se anuleaza aceasta cantitate?
Acolo unde 6x-2 = 0, adica (echivalent) 6x=2, adica (echivalent) x = 2/6 = 1/3 .
Da, este un numar urat, dar asa e viata. La fel de usor ar fi fost sa lucram cu inegalitati in loc de egalitati.

In fine, se "vede" si se intelege ca

6x-2 < 0 daca x < 1/3 , in acest caz avem |6x-2| = -(6x-2) = -6x +2 ,

6x-2 = 0 daca x = 1/3 , in acest caz avem |6x-2| = 0 (=6x+2, acceeasi explicitare ca si mai jos),

6x-2 > 0 daca x > 1/3 , in acest caz avem |6x-2| = 6x-2 .

Ramane sa inlocuim in fiecare caz in inecuatia

[Citat] (a) |6x-2| > 3x-5

si sa vedem unde este satisfacuta aceasta in conditiile in care x se afla in primul caz, in al doilea, respectiv in al treilea.
(La clasa, cazul cu = si cel cu > sunt de obicei un caz. Dar mie mi-e greu sa scriu...)
- primul caz: x < 1/3 .
Sunt succesiv echivalente (cu conditia ca x<1/3):

|6x-2| > 3x-5
-(6x-2) > 3x-5
-6x +2 > 3x-5
+2 +5 > 3x + 6x
7 > 9x
7/9 > x
x < 7/9 .

"Intersectam" acum intervalele pe care x < 1/3 (conditia initiala necesara pentru o prima explicitare) si pe care x < 7/9 si obtinem
x < 1/3 .
(De ce? Plasam pe axa numerele 1/3 = 3/9 si 7/9 si vedem care e mai mare/mic. Apoi ne uitam pentru care valori ale lui x sunt verificate ambele conditii...)

- cazurile ramase. x este mai mare sau egal cu 1/3 .
Sunt succesiv echivalente (cu conditia ca x sa fie mai mare sau egal decat/ca 1/3):

|6x-2| > 3x-5
+(6x-2) > 3x-5
6x -2 > 3x-5
6x -3x > -5 + 2
3x > -3
x > -1

"Intersectam" (x>-1) cu (x mai mare sau egal cu 1/3) si dam de
(x mai mare sau egal cu 1/3) .

Deci solutia este
(x < 1/3) , primul caz,
REUNIT CU
(x mai mare sau egal cu 1/3) , al doilea caz .

Deci pentru orice x, inecuatia data este adevarata.

N.B.
O solutie mai scurta este:
|6x-2| = 2|3x-1|
>= (mai mare sau egal) |3x-1|
>= (mai mare sau egal) (3x-1)
> 3x-5 .

Rog a se raspunde la urmatoarele intrebari
Pentru urmatoarele ((b), (c), (d)):

- In care puncte se anuleaza modulele?
- Cum se expliciteaza modulele pe cazuri?
- Care sunt multimile de solutie? (Fara trecerile succesive prin echivalenta, care reformuleaza pe cazuri inegalitatile...)