Buna ziua!

Nu stiu daca aici e locul potrivit pt a posta aceasta problema...sunt nou pe acest site...

Problema este urmatoarea:
Daca

in

in

Am cautat pe net si am gasit un rezultat care spune ca daca

si

e operator compact atunci

, asa ca m-am gandit ca as putea sa folosesc acest rezultat deoarece

cu incluziune compacta.

Daca rezultatul e corect si e suficient pt ceea ce imi trebuie mie, atunci as vrea sa va rog sa ma ajutati cu demonstratia acestuia.

Multumesc anticipat!

EDIT: Dupa o trimitere precipitata, am vazut ca in spatiul de plecare am un sir slab convergent... Cele de mai jos se aplica pentru un sir convergent (in norma spatiului "de plecare" H^1). Revin...

Buna!
Sa vedem ce putem face (impreuna).
Care este norma de pe H^1 si care este norma de pe H^0 = L^2 ?

Exista cumva o inegalitate intre cele doua norme?

Rezulta cumva de aici ca incluziunea canonica a lui H^1 in H^0 = L^2 este (marginita, deci) continua?

Daca da si notam cu T aceasta incluziune, atunci T duce siruri convergente in siruri convergente. Este exact ceea ce se cere...

(Nu este nevoie de nici un fel de compacitate...
Continuitatea este ceea ce ajunge. Ca si pe clasa a IX-a, un operator liniar (ce pleaca dintr-un spatiu separabil) este continuu daca si numai daca duce siruri convergente in siruri convergente. Pentru operatori liniari, folosind liniaritatea ne putem repede reduce la siruri ce converg la zero(ul din domeniul de definitie). Destul de repede se vede ca marginirea este ceea ce ne trebuie pentru a avea continuitatea.)

Daca sunt intrebari, cu incredere...
(Scoala romaneasca de teoria operatorilor este scoala, nu e de glumit, avem cateva patente importante...)

Da intr-adevar e vorba de un sir slab convergent. Spatiul

este spatiul sobolev format din toate functiile din

care au derivatele partiale tot in

iar

este spatiul functiilor masurabile pe

ale caror patrate sunt functii integrabile.


Multumesc frumos pt raspuns si promptitudine. O sa cercetez linkurile postate.


PS: nu stiu din ce cauza acelasi cod latex verificat (care nu da erori), copiat din fisier latex, da erori la postarea pe acest site.

Am recitit dupa trimitere enuntul, am omis faptul ca avem convergenta slaba in spatiul de plecare si convergenta normala in spatiul de ajungere...

Hm... Cele de mai sus sunt desigur raspunsul la alta problema...

Pentru intrebarea pusa:

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-102-introduction-to-functional-analysis-spring-2009/lecture-notes/MIT18_102s09_lec18.pdf, Lema 12.

Solutia de neinteles este aici:
http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_operator_on_Hilbert_space
Ea foloseste
http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle

(Si eu am primit-o pe vremea mea.)

Pedestrian, cam aceeasi solutie ca si cea din Lema 12...
http://math.stackexchange.com/questions/70410/compact-operator-maps-weakly-convergent-sequences-into-strongly-convergent-seque

Am citit lema indicata in articol si este exact demostratia la care ma gandisem si eu. Nu eram sigur insa ca e bine, mai exact, in demostratie se folseste urmatorul rezultat care nu stiam sa il justific:

Daca

are un subsir tare convergent atunci limita subsirului si limita slaba coincid.

Acum m-am prins cum se demostreaza, pt ca de fapt asta era chestia care ma impiedica.

Presupunem ca

si de asemenea presupunem ca exista un subsir

convergent tare la o limita

adica

rezulta

oricare ar fi

din dualul spatiului care contine sirul. Pai asta inseamna ca relatia e valabila si pe subsirul convergent la

adica

. Dar

e continua (fiind din dual) deci

adica

de unde, folosind faptul ca

e si liniara, tragem concluzia ca

.