Avem un triunghi ABC de arie 24 si BC=8.
Construim bisectoarea BE a unghiului <ABC cu E apartine lui AC.
Ducem din A perpendiculara pe BE , punctul de intersectie este D.
Din D se coboara perpendiculara pe BC , piciorul perpendicularei pe BC este F.

Sa se afle lungimea segmentului DF.

[Citat] Avem un triunghi ABC . Construim inaltimea AT din A, T se afla pe BC. Construim bisectoarea BE a unghiului <ABC cu E apartine lui AC. Ducem din A perpendiculara pe BE , punctul de intersectie este D. Din D se coboara perpendiculara pe BC , piciorul perpendicularei pe BC este F. Sa se arate ca lungimea lui DF este jumatate din lungimea inaltimii AT.

Solutia trigonometrica este cea mai simpla:

Solutia sintetica vede mai intai ca nu este nevoie deloc de punctele C si E, deci le eliminam de pe figura. (In enuntul izolat mai sus.)

Notez cu y jumatatea masurii lui B.

Construim M, piciorul perpendicularei din D pe AT.
Unghiul <(MAD) este de masura y .

Triunghiurile dreptunghice urmatoare sunt atunci asemenea, deoarece au unghiul y...
BAD ,
BDT ,
ADM .

De aici rezulta ca
DF : AM
= (DF:BD) (BD:AD) (AD:AM)
= (sin y) (ctg y) (1/cos y)
= 1 .

(Mai sus pot fara probleme sa fac astfel inca sa nu folosesc functii trigonometrice, ajunge sa iau unul din cele trei triunghiuri de mai sus ca triunghi "de referinta" si sa scriu "in el" raporturile respective. Prefer insa didactic sa scriu functii trigonometrice.)

Deducem ca DF = AM .
Patrulaterul ADFM este deci un paralelogram (AM si DF paralele si egale).
Deci triunghiurile dreptunghice urmatoare sunt pe congruente:
AMD cu FDM , deoarece AMFD paralelogram,
FDM cu TMD , deoarece MDFT dreptunghi.

De aici rezulta DF = AM = MT = (AM+MT)/2 = AT/2 .

Am gasit o solutie mai simpla.
Prelungim AD pina intersecteaza BC in P.

Triunghiul ABP este isoscel (BD inaltime si bisectoare) => BD mediana
=> D mijlocul lui AP.

Construiesc inaltimea AG a triungiului ABC si DF va fi paralela cu AG , D mijloc => DF linie mijlocie.

AG = 6 cm ( scoasa din Arie si lungimea lui BC ) => DF =3 cm.

Mersi Gauss.

Excelent!
Si eu multumesc!