Care sunt patrulaterele convexe pentru care exista un punct in planul lor cu proprietatea ca orice dreapta ce trece prin punctul respectiv imparte patrulaterul in 2 poligoane de arii egale?

paralelogramul si tot ce-i sub el.

Mai sunt cel putin si poligoanele regulate cu numar par de laturi.

Imi puteti da ,va rog, o solutie?

Care este sursa problemei?
Care este autorul problemei?
Cu ce ocazie a survenit problema si de ce este solutia asa de stringent necesara?

Ce s-a incercat in a o solutiona?

(De exemplu, daca A este unul din varfuri si O punctul prin care trec acele drepte multe care ii injumatatesc aria, notand cu A' celalalt punct in care AO intalneste conturul patrulaterului, ce se intampla daca "deformam" putin sau mai mult OA? Chiar trebuie scrise propozitii nenumarate pentru a face o demonstratie bourbakista arida, daca e clara idea?!)

Problema este din ONM Shortlist 2004 si este propusa de dl. Gheorghe Iurea.
Solutia o vreau doar pentru a sti mai mult.
Am incercat sa duc drepte prin varfurile patrulaterului (in special A si C)...dar nu mi-a iesit.

Sa zicem ca un patrulater cu proprietatea data este ABCD (cu varfurile A,B,C,D in aceasta ordine pe contur). Sa notam cu O punctul care stim ca exista cu proprietatea ca orice dreapta prin O imparte patrulaterul in doua bucati de arii egale.

In primul rand punctul O este interior patrulaterului.
Altfel gasim (din convexitatea lui) o dreapta care nu il taie. (Hahn-Banach in spatiu finit dimensional.)

Trasam OA.

Atunci OA mai taie o data laturile patrulaterului intr-un punct pe care il notez cu A'.

Daca A' nu este C, atunci este fie pe (BC), fie pe (DC). Sa zicem ca este pe (BC). Altfel renotam. Ne uitam care distanta este mai mica, cea de la A' la C sau cea de la A' la B. In ambele cazuri putem lua doua puncte M,N astfel incat sunt coliniare in urmatoarea ordine:

B,M,A',N,C

si MA' = A'N .
Ne uitam la dreptele OM si ON...

Cum se face mai departe problema?

N.B. Eu inteleg ca sunt multe probleme interesante in listele ONM, dar sensul unei pregatiri bazate pe ele este de a o incerca cu tenacitate maxima pe fiecare din acestea. Daca dupa o zi de incercari nu vine nici o idee, atunci este in regula sa se caute un partener de discutie. Dar renuntarea la lupta si "adunarea de idei" nu sunt lucruri de indicat. Pur si simplu ideile "nu raman" bine ancorate in memorie daca nu se intelege "cum merg problemele". Eu raspund cu placere la astfel de probleme, insa totusi ar trebui sa existe un oarecare echilibru intre timpul de care am nevoie pentru a prezenta solutia si timpul pana cand imi vine urmatoarea problema. (Chiar daca presupunem ca solutiile sunt asa de clare incat pot fi imediat asimilate, lucru de care ma indoiesc, imi cunosc prea bine stilul...)

[Citat] Am incercat sa duc drepte prin varfurile patrulaterului (in special A si C)...dar nu mi-a iesit.

Este esential sa ne legam cumva de punctul (notat mai sus cu O) cu proprietatea ca orice dreapta prin el injumatateste "prin taiere" aria.
Orice incercare TREBUIE sa se lege de acest punct.

Daca va pregatiti pentru ONM, v-ar putea fi utila aceasta carte (daca nu ma insel, disponibila doar in format electronic):

http://www.bookbyte.ro/product--probleme-de-matematica-pentru-pregatirea-olimpiadei-nationale-lista-scurta-20022010--1677.html

(http://www.gil.ro).

In aceasta carte cred ca veti gasi si solutia la acea problema . Multa bafta la pregatire si la olimpiada!

Multumesc!