Fie a,b,c>0 cu a^2+b^2+c^2=3. Sa se arate ca pentru orice x,y,z>0 avem:

.


Incercand sa demonstrez aceasta inegalitate am ajuns la

si m-am gandit ca pot presupune ca

, in caz contrar, notam

si luam

si prin impartirea inegalitatii cu

si am ajunge la o inegalitate cu t,r,s in loc de x,y,z, dar cu conditia

si de aici avem concluzia!

Este corecta rezolvarea?

Nu stiu cum ai ajuns la ai ajuns la

, dar nu pare corect pentru ca

sunt numere oarecare. De exemplu

nu verifica inegalitatea respectiva.

EDIT: Am corectat.

Cred ca trebuia sa scrii a in loc de radical din a...si analoagele.

M-am exprimat gresit in rezolvare! Eu ziceam (cu alte cuvinte) sa notez

si luand

am ajunge la o inegalitate in t,r,s(prin impartirea inegalitatii cu

) care indeplinesc conditia

,deci aplicand Holder (asa am ajuns eu la

) ajungem la

,ceea ce e evident adevarat.(in fine, nu ajug neaparat la inegalitatea asta...ci la una de forma

cu s<=1) Asa e bine?

Inegalitatea data este homogena in variabila (x,y,z), deci putem presupune ce vrem despre valoarea lui xx+yy+zz... (o valoare nenula, desigur.)

Solutia simpla este cea de mai sus.

Daca trebuie neaparat H"older (de doua ori) atunci se poate si fara presupunerea faptului ca xx+yy+zz este ceva fixat.