Triunghiul ABC , dreptunghic in A , D apartine (AB) astfel incat m(<ACD)=m(<BCD). Daca AB-AC = 6cm , BC=30cm , aflati lungimea [CD].

[Citat] Se da triunghiul ABC , dreptunghic in A si fie D apartine (AB) astfel incat m(<ACD)=m(<BCD). Notam cu a,b,c lungimile laturilor opuse varfurilor A,B,C. Se dau relatiile c-b = AB-AC = 6cm , a = BC = 30cm . Aflati lungimea [CD].

Teorema lui Pitagora ne da bb + cc = aa = 900 [cm]^2 .
Ridicam la patrat in c-b = ... si dam repede de

2bc = (900-36) [cm]^2 = 864 [cm]^2 .
Deci bc = 432 [cm]^2 .

De aici (b+c)^2 = (900 + 864) [cm]^2 = 1764 [cm]^2 .
Deci b+c = 42 [cm] .

Vieta ne spune ca e bine sa asociem ecuatia XX - 42 X + 432 = 0 .
Ea are radacinile 24 si 18. Deci (din c>b)
c = 24 [cm] ,
b = 18 [cm] .

Ne apropiem de rezultat.

Din teorema bisectoarei, folosind eventual proportii derivate,
care este lungimea lui AD ?

Daca ne uitam la triunghiul ACD cat de cat, care este solutia problemei?

[CD]=9 radical din 5 cm

clasa a 7 a

[Citat] [CD]=9 radical din 5 cm

Eu am intrebat ceva in ideea ca discutam despre solutie.
Daca s-a inteles cumva ca nu stiu sa rezolv si ca vreau neaparat sa stiu solutia, lucrul acesta este departe de realitate. Eu stiu cum se rezolva si nu ma intereseaza rezultatul.

Asadar: Cum suna teorema bisectoarei?
(Clasa a 7-a, stiu...)

Fie triunghiul ABC si D ?(BC.[AD este bisectoarea unghiului BAC ? BD/DC=AB/AC

La noi avem insa un D care se afla pe AB.
Cum se scrie relatia in acest caz?

BD/AD = BC/AC

[Citat] BD/AD = BC/AC

Excelent. Folosim acum proportii derivate sub forma:
(BD + AD) : AD = (BC + AC) : AC

Cum se scrie explicit "cu numere" (si AD asa cum e)?
Care este lungimea lui AD de aici?

(Deja stim laturile. Am pomenit de Vieta intamplator pe drum, nu mai e a 7-a, stiu, dar oblojim mai tarziu la nivel de a 7-a.)

De asta ti-am zis clasa a 7 a , k nu a facut Vieta .
BD+AD = AB
Si am inlocuit si mi-a dat AD=9 , si am folosit teorema pitagora in triunghiul ADC si mi-a dat CD = 9 rad 5 , cum trebuia

De asta am si spus ca oblojim Vieta dupa ce terminam problema.
A mai ramas sa rezolvam la nivel de clasa a 7-a sistemul cu doua ecuatii si doua necunoscute (b si c):

b+c = 42
bc = 432 .

Se scoate c din prima ecuatie, c = 42-b, se substituie in a doua si dam de:
b( 42-b ) = 432 .

Acum ducem totul pe o parte, anume pe partea pe care sa avem b patrat cu plus si obtinem:

0 = bb - 42 b + 432 .

La nivel de clasa a 7-a descompunem si dam de
0 = (b-18)(b-24) .

De aici b este fie 18, fie 24.
Corespunzator este c=24, respectiv c=18.

Deoarece c>b trebuie sa ne multumim cu solutia unica c=24, b=18.