Sa se determine numerele reale x,y,z cu xyz=1 stiind ca x+xy,y+yz,z+zx sunt numere naturale distincte.

Imi puteti spune, va rog, cum ati aflat?

notezi cele 3 numere naturale cu a, b, c si calculezi suma si produsul lor; se obtine o ecuatie in numere naturale care se rezolva relativ usor.

[Citat] notezi cele 3 numere naturale cu a, b, c si calculezi suma si produsul lor; se obtine o ecuatie in numere naturale care se rezolva relativ usor.

De curiozitate am notat cu a,b,c cele trei numere intregi

a = x(1+y)
b = y(1+z)
c = z(1+x)

1 = xyz

(avem 4 ecuatii in 3+3 necunoscute... teoria eliminarii spune ca de obicei putem elimina 3 ecuatii si trei necunoscute, este exact ceea ce incerc sa fac, anume sa elimin x,y,z si sa raman cu o singura ecuatie algebrica in a,b,c...)

Dam de
abc = xyz (1+x)(1+y)(1+z) . Expandam, folosim xyz=1 si dam de

abc
= xyz (1+x)(1+y)(1+z)
= (1+x)(1+y)(1+z)
= 1 +x+y+z +xy+yz+zx + xyz
= 1 +(x+xy)+(y+yz)+(z+zx) + 1
= 2 +a+b+c .

Se poate arata ca aceasta este singura dependenta algebrica a celor trei numere naturale a,b,c.

Sa observam ca nu putem avea vreo anulare pentru a,b,c.
De aceea, daca ordonam numerele distincte, fara a restrange generalitatea luam
a < b < c
rezulta ca

a este cel putin 1 ,
b este cel putin 2 ,
c este cel putin 3 .

Observam acum ca 2+a+b+c este (1+a)+(1+b)+c < (2+a)+(1+b)+c <= c+c+c = 3c, deci
abc < 3c .

Daca avem ab<3 deja nu putem sa ne descurcam decat cu a=1 si b=2.
Inlocuim in abc = ...
si dam de 2c = 1+2+c+2, deci c=5 .

Ramane sa gasim x,y,z cu
1 = x(1+y)
2 = y(1+z)
5 = z(1+x)
xyz = 1

Dam astfel de solutia
x = 2/3, y=1/2, z=3 .

Desigur ca toate cele 6 permutari sunt solutii.