-

Uitasem complet de problema asta.
Problema mea principala a fost sa ghicesc ce inseamna stelutza... (Prima mea intrebare a fost: ... si daca A este matrice autoadjuncta asta e o noua caracterizare pentru matricile autoadjuncte de marime 2x2 si o discriminare pentru unele ceva mai mari?!)

Daca problema este transcrisa corect, solutia este simpla:

O matrice 2x2 de forma
[ a b ]
[ c d ]
si de determinant nul, ad-bc = 0, are urma a+d si adjuncta
[ +d -b ]
[ -c +a ]
si suma se calculeaza imediat, obtinem scalarul (a+d) inmultit cu matricea unitate.

Daca n nu este 2 nu avem nici o sansa sa obtinem acel "I indice 2" de mai sus.
Gata!

Daca problema nu este transcrisa corect, avem de fapt un "I indice n" cel mai probabil... O sa las desigur indicele la o parte, scoala are prea multe probleme de notatie (bine puse pentru cei ce tocmai incep sa inmulteasca matrici) prelungite la nivel de olimpiada (unde se presupune ca omul cunoaste toate trucurile de facultate..).

Prefer atunci sa ma leg de urmatoarea problema:
Fie A o matrice complexa de dimensiune nxn cu urma
t=Trace(A)=suma elementelor de pe diagonala lui A,
pentru care asociind B=(tI-A) are loc relatia
AB = BA = 0 .
Ce se poate spune despre rangul lui A si despre matricea "adjugata" adj(A) ?

Pe aceasta din urma o numesc asa in conformitate cu
http://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate_matrix
pentru ca sa nu avem o coliziune neplacuta in facultate.
(Atunci, matricea "adjuncta" este conjucata complexa pe intrari a matricii transpuse lui A.)

Ei bine, In primul rand vedem care ar putea fi polinomul minimal al lui A din
A (A-tI) = 0 ,
anume daca t nu este nul, dam de polinomul X(X-t),
iar daca t este nul, fie de X, fie de XX.

In cazul in care t este nenul, rezulta ca A este o matrice diagonalizabila,
fie A ~ D echivalenta corespunzatoare cu o matrice diagonala D,
pe diagonala lui D putem avea doar zero-uri si t-uri,
dar urma lui A si/sau D este t,
deci avem exact un t,
deci putem lua D = diag( t,0, ..., 0 ) = t diag( 1,0, ..., 0 ),
deci A este conjugata unei astfel de matrici de rang 1 .

ramane cazul in care t=0 .
Stim AA = 0 . Apar deci in forma Jordan J pe "diagonala" doar blocuri de forma
[0]
si/sau (unul sau mai multe blocuri)
[ 0 1 ]
[ 0 0 ]
Deoarece dimensiunea este >2 avem cel putin doua linii / coloane nule.

In ambele cazuri avem
rang(A) < n-1 .
Este tot ce ne trebuie pentru a vedea anularea matricii adjugate adj(A).
Fiecare intrare (i,j) in adj(A) se calculeaza ca +/- determinantul unei matrici

E A' F

in care E este o matrice (n-1)xn care extrage cele (n-1) linii din A',
toate fara a i-a,
si
in care F este o matrice nx(n-1) care extrage cele (n-1) coloane din A',
toate fara a j-a,

deci deoarece
rang( E A' F ) este mai mic sau egal decat rang(A') = rang(A) < n-1
aceasta matrice (n-1)x(n-1) are determinant nul.

Punand totul cap la cap, cred ca problema s-a terminat...
Solutia nu este una de facultate, dar structura in care se intelege cel mai bine cum stau lucrurile este cea de facultate, in care stim de forma canonica Jordan. Rog elevii din liceu sa ma inteleaga aici. Nu este important sa ducem structurile la nivel de liceu, ci este important sa vedem care este nivelul real al structurii si sa o intelegem la nivelul ei. Acest lucru vine in contradictie cu "spiritul olimpic" in care ne facem ca nu stim structura si propunem o problema la nivel de liceu care se rezolva cel mai usor (sau al carei mers, punct nevralgic se dibuieste cel mai usor) la nivel de facultate, dar apoi remesterim lucrurile astfel incat sa fie prezentabile si cu mai putine cunostinte. Iar in aceste conditii declaram problema ca problema de concurs.
Este motivul pentru care ii rog pe elevi sa accepte forma canonica Jordan
http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_normal_form
ca un fel de jalon structural. In cazul de fata, acest lucru ne ajuta sa intelegem cumva cum poate arata un A care sa se apropie cat de mult de cerinte.
Daca solutia autorului merge cumva prin asocierea spatiilor (proprii)
U = { u : Au = 0 } si/sau
V = { v : Av = tv }
dar autorul nu le numeste spatii proprii, atunci e rau destul.