Fie

un polinom monic si

o progresie aritmetica de numere naturale. Sa se arate ca daca exista

cu

, atunci multimea

este infinita.

Gazeta Matematica

Probabil ca a(1), inceputul progresiei aritmetice, este f(k) pentru un k intreg.
Sa notam cu r ratia, desigur ca avem nevoie de r>0 .
(Progresia constanta trebuie evitata cumva in enunt.)

Deoarece f( k + Nd ) - f(k) se divide prin (k+Nd) - k
(liniaritatea ne permite sa ne reducem la monoame, apoi la x -> x^n, n putere naturala), deci si prin d.
Deoarece f tinde la infinit pentru argument ce tinde la infinit (ar fi ajuns coeficientul principal natural) valorile lui f pe IN va intalni de o infinitate de ori progresia.