Pe latura BC a triunghiului ABC se considera un punct oarecare M. Dreapta AM intersecteaza din nou cercul circumscris triunghiului ABC in punctul M'.
a) sa se arate ca

unde ,,la'' este lungimea bisectoarei din A
b) sa se arate ca

unde N',P' puncte analoage lui M'iar R raza cercului circumscris.


m-ar interesa o idee pentru a), punctul b) mi-a iesit utilizand a)

Nu pot oferi o solutie completa la nivel de a IX-a,
o sa scriu insa cateva lucruri:

- Fie A' pe BC piciorul bisectoarei din A, fie A'' mijlocul arcului BC din cercul circumscris. Deci A, A', A'' sunt coliniare.

- Maximul lui MM' este A'A''.
(Eu am dus paralela la BC dincolo de A, am mers cu ea pana la tangentza, am dat astfel de A''. Argumentul meu este concavitatea, si trebuie sa gasesc doar punctul de derivata geometrica nula, am nevoie de clasa a XI-a. Am facut calculele in graba. Azi si asa nu mi-a iesit nimic...)

- Atunci pentru A'A'' putem estima prin majorare, folosind puterea punctului A' fata de cerc, A'A . A'A'' = A'B . A'C, deci

A'A'' = A'B . A'C / AA'
care este ceva mai mic sau egal decat
(A'B + A'C)^2/4 / AA' = (a^2/4) / l(a) ...

(Am folosit 4xy <= (x+y)^2 pentru x,y>0.)

stiu sa folosesc functiile concave si convexe, Jensen,daca e cazul,

multumesc si pentru atat!

Se pare ca trebuie sa astept pana duminica...
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=34963&start=-1

acum s-a terminat judeteana, poate ne mai ajutati un pic cu ceva idei

Nu sunt multumit cu ce voi scrie mai departe in noaptea asta, dar incerc sa scriu ceva...

[Citat]

Pe dinauntru eu sunt facut de asa natura incat nu ma intereseaza solutia minimala a acestei probleme. In primul rand vreau sa inteleg pentru ce plasare a lui M se atinge maximul, daca se poate si care este valoarea maximului.
M-am decis destul de repede pentru
http://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Stewart

Trimit si mai revin...

Am incercat in mai multe moduri sa rezolv problema in mod sintetic, dar nu am reusit.
O sa dau solutia "analitica".
(Sunt curios ce solutie are autorul, iar daca aceasta este una sintetica ce interferenta de altceva in locul lungimii bisectoarei conduce la solutie.)

In fine, imi dau drumul si promit ca totul se poate amenaja repede si natural la nivel de clasa a IX-a.
Nu e nevoie de nici un fel de derivata, doar de libertatea gandirii.

Singurele ingrediente geometrice sunt relatia lui Stewart si puterea punctului fata de cerc. (Si faptul ca laturile unui triunghi satisfac inegalitatea triunghiului\dots)

Folosesc mai departe notatiile de mai sus: