Gata...scuze pentru postara pripita,am gresit intr-adevar la calcule,problema e buna si merge cu Hamilton Cayley.

Daca I este matricea identitate 2x2 peste inelul nespecificat (comutativ) R si daca luam a,b din R scalari si daca testam egalitatea de demonstrat pe (morfismul structural din R in M(2,2;R))

A = aI
B = bI

trebuie sa avem atunci paralel:

a(a-b)b = b(b-a)a .

Ceva cred ca nu este in regula...

Asta in varianta in care n-am gresit pe undeva..

Poate

[Citat] Poate

Multumesc! in sfarsit am gasit ce nu era in regula
Relatia corecta e asa cum ati scris si asa am demonstrat-o.

Prima varianta cred ca e gresita;dealtfel am verficat ,din nou,pe un caz particular.

Bun, acum am inteles si eu in ce enunt si directie merge solutia folosind Cayley-Hamilton.

Problema este:

Fie A,B doua matrici 2x2 de aceeasi urma.
Sa se arate relatia:
A(A-B)B = B(A-B)A .

Solutie:
Notam cu t urma comuna, t = Trace(A) = Treace(B) .
Notam cu c,d cei doi determinanti:
c = det(A), d = det(B) .

Folosind Cayley-Hamilton putem scrie:
AA - tA + cI = 0 .

Notez comutatorul a doua matrici X,Y cu [X,Y] = XY-YX .
In particular, deoarece B comuta cu 0 si I, dam de

0 = [0,B] = [ AA-tA+cI , B ] = [AA,B] - t [A,B] .

Analogia este

0 = [A,0] = [A, BB-tB+dI ] = [BB,A] - t [B,A] .

Adunam ca sa putem folosi [A,B]+[B,A]= 0 si dam de

AAB - BAA = [AA,B] = -[BB,A] = [A,BB] = ABB - BBA .

Deci
AAB - BAA = ABB - BBA <=>
AAB - ABB = BAA - BBA <=>
A(A-B)B = B(A-B)A .

Nota: Este esential sa insistam ca urma sa coincida!
Relatia ceruta o putem scrie sub forma [A-B,[A,B]] = 0 .
Urma matricii din stanga relatiei este nula.
Ca sa asiguram anularea, trebuie sa asiguram echivalent determinant nul pe partea stanga.
Computerul calculeaza acum...