In sistemul cartezian xy consideram punctele A(1,2) si B(4,4). Sa se determine punctul C de pe axa Ox pentru care masura unghiului BCA este maxima.

Cautam constantele a,b,r din ecuatia generala a unui cerc (Appolonius)

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

astfel incat
cercul trece prin cele doua puncte A,B
si este tangent la axa Ox (r=b).

Din motive geometrice acest cerc este cel bun...

Imi puteti spune ,va rog, mai multe despre ecuatia cercului...nu am auzit de ea si mi-ar placea sa stiu mai multe...cine sunt a,b,x?

[Citat] Imi puteti spune ,va rog, mai multe despre ecuatia cercului...nu am auzit de ea si mi-ar placea sa stiu mai multe...cine sunt a,b,x?

Nu este nici o mare greutate cu ecuatia cercului.
Ideea carteziana este simpla si esentiala.
In geometrie multe lucruri se exprima prin relatii de egalitate.
Introducand axe "cu masuri" pe ele, putem masura si astfel putem scrie ecuatii algebrice.

Ori de cate ori avem o figura geometrica data de (locul geometric pentru) o relatie metrica, putem sa o rescriem algebric, obtinand ecuatia figurii respective. Deoarece numerele se manipuleaza "mai destructiv" decat figurile, (putem aduna, scadea, rezolva ecuatii...) avem un prim exemplu esential in matematica in care "spargem structura" si avem mijloace de atac noi.

In cazul nostru fixez:
un punct O(a,b) "centru" in plan si
un numar real r>0 "raza".

Ma intereseaza sa rescriu
pentru un punct P(x,y)
relatia metrica |OP|=r in termeni algebrici.

Ei bine, teorema lui Pitagora imi permite imediat (dupa ridicarea la patrat) sa vad ca cele de mai sus se rescriu:

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

deoarece
|x-a| este masura proiectiei pe Ox a segmentului OP si
|y-b| este masura proiectiei pe Oy a segmentului OP .