1. Daca x, y, z sunt numere reale nenule, sa se demonstreze ca (x+y+z)^3(1/x+1/y+1/z)>=27(xy+xz+yz)


2.Sa se rezolve ecuatia: {(x+3)/2}={(x-5)/3}.

3.Fie trunghiul ABC si punctele M pe (BC), N pe (AC) si P pe (AB) astfel incat intersectia dintre AM, BN si CP este punctul Q.Stiind ca MB^3/MC^3+NC^3/NA^3+PA^3/PB^3=3, aratati ca punctul Q este centrul de greutate al tringhiului ABC.

Cand vin deodata trei probleme rog a ni se comunica ce incercari au fost facute pentru macar una din ele...

Care este sursa problemelor?
Care este nivelul la care este pusa?
Care este miza (tema de casa, pregatire pentru olimpiada, pariu, dare de meditatii, ...) ?

[Citat]

Indicatiile urmeaza.

Rog a se raspunde la ele de asa natura incat sa vad si sa vada toata lumea ca solutia este deja transparenta.

[Citat] Cand vin deodata trei probleme rog a ni se comunica ce incercari au fost facute pentru macar una din ele... Care este sursa problemelor? Care este nivelul la care este pusa? Care este miza (tema de casa, pregatire pentru olimpiada, pariu, dare de meditatii, ...) ? [Citat] Indicatiile urmeaza. Rog a se raspunde la ele de asa natura incat sa vad si sa vada toata lumea ca solutia este deja transparenta.

Acestea sunt pentru tema de clasa(clasa a IX-a).Tin sa mentionez ca au fost mai multe, dar le-am rezolvat.Doar acestea mi-au mai ramas si nu stiu cum sa le rezolv...De aceea v-am cerut ajutorul...

[Citat] Acestea sunt pentru tema de clasa(clasa a IX-a). Tin sa mentionez ca au fost mai multe, dar le-am rezolvat. Doar acestea mi-au mai ramas si nu stiu cum sa le rezolv... De aceea v-am cerut ajutorul...

Multumesc pentru postarea problemelor!
Deseori ma ajuta mult in explicarea solutiilor sa stiu din care directie vin problemele si la ce nivel e bine sa fie prezentata solutia. Bun, deci clasa a IX-a.

Mai sus am dat cateva indicatii, dupa parerea mea vin in intampinarea solutiei de fiecare data pana la mai mult de jumatate din drum.

Incerc acum sa fac un pas mai departe.

(1) Prima problema este o inegalitate.
Lucrul "neasteptat" in formularea problemei este faptul ca inegalitatea trebuie sa aibe loc pentru orice numere reale nenule!
Pe de alta parte inegalitatea seamana mult cu una in care suntem tentati sa aplicam inegalitatea mediilor - nu putem insa deoarece "ingredentele" nu sunt neaparat > 0 .

Totusi, sa zicem ca suntem in conditii de concurs, nu stim solutia, dar vrem sa adunam puncte. O idee buna este sa rezolvam problema in cazul special in care toate numerele x,y,z (nenule) au acelasi semn, de unde destul de repede ne putem reduce la x,y,z > 0 .

In acest caz, xyz>0 si putem rescrie inegalitatea data prin inmultire pe ambele parti cu xyz (astfel incat scapam de numitori) sub forma:

(x+y+z)^3 (xy+yz+zy) >= 27 (xy+yz+zx) xyz .

De ce are loc aceasta inegalitate?

(2)
Cum arata ecuatia in necunoscuta y?
Poate fi reformulata de asa natura inca sa spunem despre un anumit numar ca este un numar intreg? (Cu sau fara y din partea mea...)

(3)
Daca aplicam inegalitatea mediilor (intre cea aritmetica si cea geometrica desigur) ce obtinem sub radicalul de ordinul trei de mai sus? Cum putem explicita (imediat) ce se afla sub acest radical?

[Citat] [Citat] Acestea sunt pentru tema de clasa(clasa a IX-a). Tin sa mentionez ca au fost mai multe, dar le-am rezolvat. Doar acestea mi-au mai ramas si nu stiu cum sa le rezolv... De aceea v-am cerut ajutorul... Multumesc pentru postarea problemelor! Deseori ma ajuta mult in explicarea solutiilor sa stiu din care directie vin problemele si la ce nivel e bine sa fie prezentata solutia. Bun, deci clasa a IX-a. Mai sus am dat cateva indicatii, dupa parerea mea vin in intampinarea solutiei de fiecare data pana la mai mult de jumatate din drum. Incerc acum sa fac un pas mai departe. (1) Prima problema este o inegalitate. Lucrul "neasteptat" in formularea problemei este faptul ca inegalitatea trebuie sa aibe loc pentru orice numere reale nenule! Pe de alta parte inegalitatea seamana mult cu una in care suntem tentati sa aplicam inegalitatea mediilor - nu putem insa deoarece "ingredentele" nu sunt neaparat > 0 . Totusi, sa zicem ca suntem in conditii de concurs, nu stim solutia, dar vrem sa adunam puncte. O idee buna este sa rezolvam problema in cazul special in care toate numerele x,y,z (nenule) au acelasi semn, de unde destul de repede ne putem reduce la x,y,z > 0 . In acest caz, xyz>0 si putem rescrie inegalitatea data prin inmultire pe ambele parti cu xyz (astfel incat scapam de numitori) sub forma: (x+y+z)^3 (xy+yz+zy) >= 27 (xy+yz+zx) xyz . De ce are loc aceasta inegalitate? (2) Cum arata ecuatia in necunoscuta y? Poate fi reformulata de asa natura inca sa spunem despre un anumit numar ca este un numar intreg? (Cu sau fara y din partea mea...) (3) Daca aplicam inegalitatea mediilor (intre cea aritmetica si cea geometrica desigur) ce obtinem sub radicalul de ordinul trei de mai sus? Cum putem explicita (imediat) ce se afla sub acest radical?

Eu imi cer scuze, dar chiar nu inteleg cum sa rezolv.Am incercat sa va urmez sfaturile, chiar am reluat problemele de mai multe ori, dar nu reusesc sa le duc pana la capat.Mi-ati maiputea oferi niste explicatii?

(1) Daca x,y,z>0 se aplica inegalitatile:

si x*x+y*y+z*z>=xy+yz+zx.
(2)Stim ca {a}={b} <=> a-b e intreg, deci trebuie sa avem:

. Acest lucru e posibil doar daca x=6k-1, unde k e intreg.
(3)Cum a zis domnul "gauss" aplicam inegalitatea mediilor si obtinem(prin impartire la 3):

, dar din teorema lui Ceva avem egalitate, deci fiecare din cele 3 rapoarte sunt egale, si deci si cu 1(inclocuim in relatia din teorema lui Ceva), adica M,N,P sunt mijloacele laturilor triunghiului,etc.