Se cunoaste ca derivata functiei

este functia

Domeniul este neaparat

Atunci, este corecta derivarea radicalului de ordin 3 asa:

,

inclusiv pentru valori negative ale lui x?

In unele carti am gasit ca:
domeniul de definitie al functiei

este

, dar domeniul de definitie al functiei

trebuie sa fie

?
Care ar fi motivul care ne-ar impiedica sa punem:

si pentru valori negative ale lui x??, adica sa definim functia

pe R? Ce probleme ar putea apare?

Probabil ca este doar o conventie locala specifica unui manual.
In definitia generala a functiei exponentiale x -> x^r de exponent r, cel mai mare domeniu bun pentru toate valorile lui r este desigur ( 0, oo ) .

Daca avem in vedere insa r=1/3 si vrem sa avem inversa din teoria multimilor a functiei de ridicare la a III-a, nici o problema. Aceasta functie e bijectiva si continua ca functie de la IR la IR. (Dar nu e derivabila in 0...)

Totusi, nu stiu daca e bine-definit ceva de forma, sa zicem

Ar trebui sa avem, desigur

sau

sau

...
Va sa zica daca acceptam numere negative la exponent rational, rezultatul poate depinde de reprezentantul numarului rational de la exponent.
Dar o operatie bine definita in care intervine un numar rational nu trebuie sa depinda de reprezentantul folosit ptr acel numar rational, daca fractia e ireductibila sau nu.

...daca ne uitam la functia de ridicare la puterea a 3-a, nu avem probleme sa o inversam...

Scrierea 1/3 = 2/6 este valabila in Q.
Daca deodata interpretam ceva cu ea despre functia putere si proprietatea

x^(ab) = (x^a)^b

trebuie sa vedem de care puteri ne legam...
In mod evident nu putem sa facem sa apara puterea 1/2.
Cu 1/3 m-am putut salva definind functia x la puterea 1/3 ca fiind inversa functiei de ridicare la a 3-a. Cu 1/2 nu am nimic si nici nu vreau sa ma apuc sa salvez situatia.

Mai sus se introduce proprietatea x^(ab) = (x^a)^b, chiar
x^(abc) = ((x^a)^b)^c
unde a,b,c sunt 1/3, 1/2 si 2 intr-o ordine pe care nu vreau s-o precizez.
In orice caz, ridicarea la putera 1/2 nu e definita pe IR.

Sper ca e clar ca intrebarea initiala nu are nimic de-a face cu proprietatile dorite in general la intrebarea ultima. Se deschide un nou front, ca si cand ar exista o legatura.