In piramida triunghiulara VABC, latura bazei ABC este AB=12 cm si inaltimea piramidei VO=6 cm. Fie D si E mijloacele muchiilor [VA] si respectiv [VB]. Sa se calculeze masura unghiului dintre planul (DEO) si (ABC).

Multumesc.

[Citat] In piramida triunghiulara regulata VABC, latura bazei ABC este AB=12 cm si inaltimea piramidei este VO=6 cm. Fie D si E mijloacele muchiilor [VA] si respectiv [VB]. Sa se calculeze masura unghiului dintre planul (DEO) si (ABC).

Sa notam cu M mijlocul laturii AB.
Sa notam cu F mijlocul lui AM (si in acelasi timp al liniei mijlocii DE in...)

Inaltimea/mediana CM are atunci lungimea
CM = BC sin(60 grade) = 6 radical(3) cm .

OM este o treime din aceasta mediana, deci
OM = CM/3 = 6 radical(3) cm .

Atunci tan( <(VMO) ) = VO/OM = 1/radical(3), deci unghiul <(VMO) are masura de 30 de grade.

Sa vedem acum ce unghi ni se cere.
Planul (DEO) este paralel cu AB, deoarece DE || AB, deci intersectia celor doua plane este dreapta prin O paralela cu AB.

Cautam o dreapta perpendiculara pe ea, deci echivalent pe AB, in planul (ABC) si alegem repede CO sau OM.

Cautam o dreapta perpendiculara pe ea, deci echivalent pe AB, in planul (ABC) si alegem repede OF. De ce avem perpendicularitatea? Deoarece planul VOM este perpendicular pe AB (avand cele doua drepte perpendiculare pe AB, anume OM si VO), deci si pe orice paralela la AB.
Iar OF se afla in acest plan.

Ramane sa calculam masura unghiului <(FOM), unghiul ascutit dintre cele doua plane. Acest unghi traieste in triunghiul dreptunghic VOM in care OF este mediana si "raza a cercului circumscris, la fel ca si FV si FM".

Care este deci unghiul cerut?