stiind ca g este un polinom cu coeficienti intregi astefel incat g(-2)=g(-1)=g(1)=g(2)=2 sa se arate ca ecuatia g(x)=0 nu are solutii intregi

[Citat] stiind ca g este un polinom cu coeficienti intregi astefel incat g(-2)=g(-1)=g(1)=g(2)=2 sa se arate ca ecuatia g(x)=0 nu are solutii intregi

In primul rand vedem ca polinomul
g(x) - 2
are radacinile -2,-1,1,2,
deci folosind teorema lui Bezout avem o descompunere de forma
g(x) - 2 = (x-2)(x-1)(x+1)(x+2) h(x)
pentru un polinom h(x) cu coeficienti intregi.

Sa presupunem prin absurd ca exista un n intreg cu g(n) = 0 .
Il inlocuim in relatia de mai sus si obtinem

-2 = g(n)-2 = (n-2)(n-1)(n+1)(n+2) h(n) .

Contradictia se obtine acum usor, daca avem in vedere ca produsul a doua numere intregi consecutive este un numar par.
Cum?

Mai general, daca a,b,c,d sunt numere intregi distincte, p un numar prim, iar f un polinom din Z[X] astfel ca f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=p, atunci f nu are radacini intregi.