va rog mult sa imi explicati cum anume se demonstreaza prin inductie o inegalitate pentru ca ma chinuiesc sa inteleg si nu reusesc,in sensul ca nu inteleg care este diferenta dintre o inegalitete si o egalitate cind se demonstreaza prin inductie

[Citat] ...cum anume se demonstreaza prin inductie o inegalitate ...

Asta depinde de inegalitate...
Principiul inductiei matematice trebuie in primul rand sa fie clar.
De obicei se dau propozitii P(n) pentru orice n natural, astfel incat:

P(0) este o propozitie adevarata
SI
pentru orice n natural implicatia P(n) => P(n+1) este adevarata.

Sa zicem ca avem ceva de-a face cu o inegalitate pe care o putem demonstra prin inductie, ca sa fixam ideile, sa zicem ca incercam sa demonstram:

P(n) :
Pentru orice x > -1 are loc:
(1+x)^n este mai mare sau egal decat 1+nx .

Pentru n=0 dam de 1 (conventie) si 1, deci de o egalitate.
Fie n natural fixat.
Acum trebuie sa demonstram implicatia P(n) => P(n+1) ...

Pentru aceasta presupunem ca propozitia P(n) este adevarata.
Pentru orice x > -1 are loc deci inegalitatea
1+nx este mai mic sau egal cu (1+x)^n .

Vrem sa demonstram ca propozitia P(n+1) este adevarata.
Deci vrem pentru orice x > -1 sa demonstram ca are loc inegalitatea
1+(n+1)x este mai mic sau egal cu (1+x)^(n+1) .

Si acum incercam sa demonstram. Cum? Folosind tipicul situatie in care ne aflam.
Avem de "operat" cu inegalitati, deci trebuie sa stim ce "jocuri" putem juca cu ele.
Exista vreo "legatura optica" intre cele doua inegalitati?
Da, pe partea stanga avem in ultima inegalitate
1+(n+1)x = (1+nx) + x
si "intamplator" stim ceva despre (1+nx) din ipoteza de inductie.

Daca avem noroc putem pune semnul de inegalitate in locul cu in lantul urmator:

1 + (n+1)x
= 1 + nx + x
care este mai mic sau egal decat
1 + nx + x + nxx = (1+nx)(1+x)
care este mai mic sau egal din ipoteza de inductie si din 1+x>0 decat
(1+x)^n (1+x)
= (1+x)^(n+1) .

Conform principiului inductiei matematice am aratat...
(Desigur ca puteam lua si x=-1 in enunt, dar am vrut sa scriu mai repede > si am vrut sa elimin cazul cu 0^0...)

m avut deci norocul sa nu "majoram prea tare" si sa folosim tranzitivitatea.
(A mai mic sau egal cu B SI B mai mic sau egal cu C implica...)

Daca P(n) are ceva de-a face cu divizibilitati, avem de folosit legile divizibilitatilor (si norocul), presupunand ca in P(n+1) se "gaseste o bucata" din P(n) care permite exploatarea acestor legi.
Si in cazul acesta folosim un fel de tranzitivitate, anume
a | b si b | c implica a | c ...
Sau ceva de forma [ d divide a si b, atunci d divide a+b sia-b si 1789736 a-b si...] Cum am spus, facem ce stim ce putem face.
De exemplu...

TEMA DE CASA:
Sa se arate ca pentru orice n natural numarul
3^n+8^n se divide cu 11 .

(Demonstratia mai simpla este "fara inductie", dar cum ar arata una prin inductie?)

Cu egalitatea avem intotdeauna un joc mult mai usor, deoarece lucram cu egalitati, nu mai intervine norocul (de a pierde din marime sau din divizori prin analizare grosiera a celor date.)


Pe scurt:
Principiul inductiei este unul si acelasi in toate problemele ce se rezolva cu el.
In demonstratia unui lucru prin inductie trebuie la un moment dat sa exploatam cadrul in care traiesc obiectele. Daca avem egalitati ne purtam cu ele cum se poarta omul cu egalitati, daca sunt inegalitati, ne purtam ca de obicei cu inegalitatile, toleranta este mai mare la "a face ceva cu obiectele", iar drumul este de multe ori mai creativ...