Riguros, x=a este punct de inflexiune pentru graficul unei functii f daca sunt indeplinite 3 conditii:
-f continua in a
-f are derivata in a
-f este convexa de o parte a lui a si concava de cealalta parte(macar pe o vecinatate).


Totusi, la "interpretarea geometrica a derivatei", unii autori de manuale si culegeri considera ca, daca functia f e continua si are derivata infinita in punctul x=a, acesta se numeste tot punct de inflexiune.(in care tangenta traverseaza graficul).
Totusi, numai din aceasta conditie, rezulta ca a e punct de inflexiune in sensul definitiei care ia in considerare si convexitatea??
Adica, mai exact, intrebarea e urmatoarea:
Daca f:I->R e continua in x=a si f'(a)=+infinit, rezulta ca f este convexa inaite de a si concava dupa a(pe o vecinatate)? Se poate demonstra asa ceva in cazul general? Daca nu, poate cu ceva conditii in plus pe care sa le satisfaca functia pe tot intervalul, sa fie continua, derivabila(cu excp lui a), sau poate chiar de 2 ori derivabila(cu excp lui a), ar merge demonstrat?
Acum, daca incercam sa facem un desen, dupa punctul de abscisa a, din cauza tangentei verticale(derivatei infinite), graficul nu poate "pleca" decat concav, dar totusi intuitia geometrica nu e un argument riguros.

[Citat] Riguros, x=a este punct de inflexiune pentru graficul unei functii f daca sunt indeplinite 3 conditii: -f continua in a -f are derivata in a -f este convexa de o parte a lui a si concava de cealalta parte(macar pe o vecinatate).

Faptul c? "f are derivat? in a" nu e echivalent cu "f derivabil? in a", ci include ?i cazul cand limita din defini?ia derivatei este infinita. Stiu, sun? prost, dar exist? func?ii care nu sunt derivabile în punctul a, dar au derivat? in punctul a.

[Citat] [Citat] Riguros, x=a este punct de inflexiune pentru graficul unei functii f daca sunt indeplinite 3 conditii: -f continua in a -f are derivata in a -f este convexa de o parte a lui a si concava de cealalta parte(macar pe o vecinatate). Faptul c? "f are derivat? in a" nu e echivalent cu "f derivabil? in a", ci include ?i cazul cand limita din defini?ia derivatei este infinita. Stiu, sun? prost, dar exist? func?ii care nu sunt derivabile în punctul a, dar au derivat? in punctul a.

Da, se cunoaste terminologia.
Totusi, ce parere aveti despre fondul problemei??
Un punct in care functia e continua si derivata e infinita, adica tangenta la grafic e verticala, poate fi declarat punct de inflexiune fara a investiga connvexitatea/concavitatea functiei in jurul punctului?
Manualele asa zic, la lectia cu interpretarea derivatei:ca un astfel de punct se numeste de inflexiune. Pentru ca mai apoi la studiul functiilor cu derivata a doua sa dea o alta definitie a punctului de inflexiune, care sa includa notiunea de convexitate.
Pai avem 2 variante:-ori faptul ca derivata e infinita implica faptul ca functia e convexa de o parte si concava de cealalta (ceea ce e greu de crezut ca se intampla pentru orice functie, sigur exista ceva functii "exotice" care nu verifica asa ceva, desi nu am un exemplu)
-ori nu este asa, si atunci autorii de manuale le-au facut "dupa ureche" si ar trebui trimisi acasa din invatamant!

Daca functia este de 2 ori derivabila cu exceptia punctului a, unde derivata este +infinit, atunci e convexa la stanga si concava la dreapta acestui punct. Deoarece limita derivatei la stanga e +infinit, derivata trebuie sa fie (pe un interval la stanga lui a) crescatoare, deci derivata a 2-a pozitiva. Analog la dreapta.

EDIT: e gre?it ce am spus mai sus. Revin în zilele urm?toare.
(similar, dac? un ?ir are limita +infinit rezult? c? este, de la un rang încolo, cresc?tor? NU: 2,1,4,3,6,5,7,6,...)