.

Reformulez, astfel incat sa ma pot apuca imediat de lucru.
(Problema este bine pusa, este exact asa cum trebuie sa vina. Reformularea este mereu primul pas in rezolvare, primul punct care trebuie invatat in astfel de cazuri. Daca problema miroase a una ce se rezolva algebric, reformularea trebuie sa se apropie algebric de enunt, daca banuim a avem o problema de geometrie sintetica, reformularea trebuie sa faca clar care sunt "fundamentele" problemei, care sunt elementele geometrice dispensabile, dependenta lor, etc.)

[Citat] 1. In cercul de raza R este inscris un triunghi isoscel cu laturile a si b=c. Notam cu h inaltimea corespunzatoare laturii a. Se da relatia h + a = 2R Sa se determine h (si a,b,c) in functie de R .

Desenam triunghiul, piciorul inaltimii A' si centrul O al cercului circumscris.

(Desigur ca daca stim valoarea reala pentru a,b,c,h in functie de h, desenul de mai sus starneste ilaritate. Dar il fac asa deoarece nu stim... facem ce putem.)

Obtinem un triunghi dreptunghic OBA' in care "stim":
- ipotenuza OB = R
- cateta BA' = a/2 = (2R-h) / 2 = R - h/2 din cele date
- inaltimea OA' care este (R-h) .

Scriem relatia lui Pitagora pentru acest triunghi:

Care este solutia pozitiva a acestei ecuatii, pe care o vedem ca ecuatie in necunoscuta h cu parametrul R?

Am obtinut:

R^2 = 2R^2 - 3Rh + (5h^2)/4

R^2- 3Rh + (5h^2)/4 = 0

[Citat] 1. In cercul de raza R este inscris un triunghi isoscel.Stiind ca suma inaltimii corespunzatoare bazei si lungimii bazei este egala cu lungimea diametrului cercului , sa se determine inaltimea corespunzatoare bazei.

Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului isoscel ABC si

Th. Pitagora in ADC :

Se stie ca

Dar,

Problema este cam nenatural formulata, nu se intelege ce inseamna "din acelasi varf" - din fiecare varf, doar din unul si daca da din care? - de aceea trebuie sa reformulez...

De asemenea, stilul de formulare in care intai se cere ceva, apoi se da in ce cadru probabil ca este tipic romanesc...

[Citat] 2. Sa se calculeze masurile unghiurilor unui triunghi , stiind ca inaltimea si mediana construite din acelasi virf impart unghiul in 3 unghiuri congruente. 2. Se da triunghiul ABC in care inaltimea AH, H pe BC, si mediana AD, D pe BC, impart unghiul A in trei parti de aceeasi masura, <(BAH) = <(HAD) = <(DAC) . Sa se calculeze masurile unghiurilor triunghiului ABC.

Incerc sa fac un fel de figura...

Figura este doar aproximativa.
Voi da tot o solutie in care relatiile metrice ma ajuta sa ajung la bun sfarsit, este solutia pe care o gasim cel mai usor.

Notez
cu x lungimea lui BH si
cu h lungimea lui AH .

Din <(BAH) = <(DAH) si faptul ca in H avem doua unghiuri drepte si AH latura comuna, rezulta ca triunghiurile BAH so DAH sunt congruente, deci
BH = HD = x .

Deci BD = BH + HD = 2x .

Deoarece D este la mijlocul lui BC, rezulta
BD = DC = 2x .

Ceva trebuie sa facem mai departe cu unghiul <(DAC).
Mie mi se pare cel mai usor sa aplic teorema bisectoarei in triunghiul AHC cu bisectoarea AD. Obtinem
AH : AC = HD : DC = 1:2 .

Deja stim ce fel de triunghi dreptunghic este AHC... de exemplu
sin <( ACH ) = AH : AC = 1:2 ,
deci unghiul lui din C este de 30 de grade.

Deci unghiul <(HAC) este de 60 de grade.

De aici problema este aproape terminata, care este solutia (cu argumentele de rigoare)?

[Citat] Am obtinut: R^2 = 2R^2 - 3Rh + (5h^2)/4 R^2- 3Rh + (5h^2)/4 = 0

(Avem deja o solutie mai sus, dar vreau sa mai sporovaiesc din locul in care m-a dus raspunsul..)

Ultima relatie este poate scrisa mai bine:
5 h^2 - 12R h + 4 R^2 = 0 .

Este o ecuatie de gradul II privita in h.
Discriminantul ei "pe jumatate" este (12R/2)^2 - 5x4R^2 = (36 - 20)R^2 = 16 R^2 .
Deci radicalul din discriminant este 4 R.
Deci radacinile sunt ( 6R plus/minus 4R ) / 5 ,
o radacina este (6R+4R)/5 = 2R, cealalta (6R-4R)/5 = 2R/5 .

Solutiile sunt de asemenea mai sus.

Este esential a se intelege acest punct, de aceea am introdus necunoscute, pentru a obtine o ecuatie si a o rezolva! (Nu doar a o simplifica...)

[Citat] 3. Lungimea unei laturi a unui triunghi este de 36 cm. Prin punctul de intersectie a medianelor triunghiului este construita o dreapta paralela cu latura data. Sa se calculeze lungimea segmentului taiat din ceasta dreapta de laturile triunghiului.

Medianele se intersecteaza intr-un triunghi in centrul de greutate G al triunghiului.
Daca triunghiul dat este ABC cu medianele AA', BB', CC',
unde A', B', C' se afla pe laturile opuse respectiv lui A,B,C,
atunci relatia importanta care rezolva problema este

AG : GA' =
BG : GB' =
CG : GC' = 2 : 1

(in cuvinte, G imparte fiecare mediana in raportul de
"doua bucati pana la varf si
o bucata pana la mijlocul laturii opuse mijlocului")

Daca ducem acum o paralela la BC - sa zicem - prin G,
obtinem segmentul paralel MN - notatie - M pe AB, N pe AC, G pe MN, MN || BC .

Sa zicem ca BC este latura data de 36 de cm .
Stim BA' = A'C = jumatate...

In ce triunghi este cazul sa aplicam teorema lui Thales?
Care este raspunsul?

Raspunsurile corecte sunt:

1) 0,4 R
2) 30 , 60 , 90
3) 24 cm

[Citat] gauss , nu prea am inteles ecuatia 5 h^2 - 12R h + 4 R^2 = 0 .

Sa impartim atunci formal cu (R patrat).
Notez cu x raportul (necunoscut si cautat)
x = h/R .

Atunci ecuatia de mai sus devine
5 x^2 - 12 x + 4 = 0 .

Care sunt radacinile ei?

delta = 144 - 80 = 64
radical din delta = 8

x = (12-8)/10 = 4/10 = 0,4
x = (12+8)/10 = 20/10 = 2

x = h/r = 0,4 => h = 0,4 r
x = 2 r

In manual este doar solutia 0,4R

`in care triunghi este cazul sa aplicam teorema lui Thales?
Care este raspunsul?`

BA` = CA` = 36 cm / 2 = 18 cm

Cred ca trebuie sa ne folosim de triunghiurile AMN si ABC. Avem:

AM/AB = AN/AC = MN / BC