Fie

o functie continua astfel incat

si

. Sa se demonstreze ca exista un

astfel incat

Exista cumva vreo functie continua h : [0,1] -> (0,1]
(ajutatoare ~ help)
cu proprietatile urmatoare:

x < h(x) < 1/x pentru orice x in (0,1)
Integrala lui h pe [0,1] este ln 2

?

Daca da, sa ne uitam atunci la functia continua

Ea este derivabile pe (0,1) .
Avem D(0)=D(1)=0 .
Facem rost cu Rolle sau Lagrange sau Taylor de un c in (0,1) cu D'(c) = 0 .

Deci f(c) = h(c) se afla (din alegerea lui h) intre c si 1/c.

Nota:
Alegerea lui ln 2 ~ 0.6931471805599453094 > 1/2 in enunt este arbitrara.
Orice alegere s in ( 1/2 , + oo ) este la fel de buna.
Probabil ca autorul are cine stie ce functie magica in vedere.
Eu desenez cel mai simplu pentru s < 3/2 o functie liniara h cu h(1) = 1 si h(0) = a ales corepunzator, astfel incat aria trapezului cu varfurile
O(0,0) , U(1,0), S(1,1), A(0,a) sa fie cea data. Adica aria lui SOA este (s-1/2)...

Nu inteleg de ce vrea autorul sa avem in plus f(0) si f(1) restrictionate in enunt.

Am aflat azi care e era alegerea "inteligenta" a functiei

,

si apoi din teorema de medie rezulta imediat

-ul.

Eu am facut prin reducere la absurd. Am presupus ca pentru orice

sau

sau

si din continuitate sau

sau

si prin integrare rezulta contradictia.