Sa presupunem prin absurd ca
sin( un grad ) + cos( un grad ) este un numar rational.
Ridicam la patrat si dam de
sin( doua grade ) numar rational.
Deoarece
cos(5x) + i sin( 5x )
= ( cos x + i sin x )^5
daca identificam partea imaginara, rescriem cosinusurile la puteri pare in functie de sinusuri,
rezulta ca putem exprima sin( zece grade ) polinomial in termenii lui sin( 2 grade ), deci
x = sin( zece grade )
este un numar rational.
Cred ca ma opresc aici, fiindca stiu sinusul unghiului de 30 de grade...
Rezulta ca x satisface ecuatia de gradul III:
1/2 = 3x - 4 xxx , i.e.
8 xxx -6x +1 = 0 .
Singurele solutii rationale (pozitive) care intra in discutie sunt 1, 1/2, 1/4, 1/8, dar cu nici una nu se verifica. Contradictie...
Ma verific cu calculatorul (pentru linistea mea inainte de trimitere, cod GP/PARI):
(20:37) gp > sin( Pi/18 )
%2 = 0.1736481776669303488517166268
(20:37) gp > solve( x=0,1/2, 8*x^3 -6*x +1 )
%3 = 0.1736481776669303488517166268