Sa se afle restul impartirii prin 2012 a numarului

unde k e natural.

Care este sursa problemei?


Un cod GP/PARI de trei linii imi livreaza:

(18:58) gp > factor( 7^17 - 17^2 )
%10 =
[2 1]
[3 1]
[503 1]
[2551 1]
[3671 1]
[8231 1]

(18:58) gp > factor( 2012 )
%11 =
[2 2]
[503 1]

(18:58) gp > for( k=0, 9, print( k, " -> restul ", ( (7^(17*k) - 17^(2*k) ) % 2012 ) ) )
0 -> restul 0
1 -> restul 1006
2 -> restul 0
3 -> restul 1006
4 -> restul 0
5 -> restul 1006
6 -> restul 0
7 -> restul 1006
8 -> restul 0
9 -> restul 1006

Avem in general descompunerea algebrica:

Deci pentru orice k
numarul dat se divide cu 7^17 - 17^2,
deci si cu 503 si cu 2.
Ramane sa vedem cand este divizibil cu 4 sau restul...
17 si orice putere a lui da restul 1 la impartirea cu 4.
7 la o putere... depinde de partiatea puterii.

Daca stim resturile unui numar la impartirea cu 4 si 503, lema chineza a resturilor ne spune ca stim si restul la impartirea cu produsul 4 x 503 .

Ce ramane este, cred, clar.

Multumesc! Sursa este GM.