Consideram ABC un triunghi cu B=80 grade si C=40 grade. Fie D piciorul inaltimii din A si fie E punctul de intersectie a dreptei BC cu diametrul din A al cercului circumscris triunghiuului ABC. Sa se arate ca CE=2BD.

As fi pus un desen cu ce am mai completat eu (nu sunt sigur ca asa se rezolva problema), dar nu stiu cum sa pun poze.

Nici eu nu stiu sa pun poza...
Incerc cu proza.

Fixez cercul circumscris din enunt o data pentru totdeauna.

Notez poate putin neobisnuit varfurile poligonului regulat inscris in el, cu 18 varfuri astfel:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17 .
(Alegerea mea a fost in sensul acelor de ceasornic. E tarziu si sunt si asa obsedat de ceasuri.)

Plasez A in 0. (Daca vrem putem gandi 0=18=..)

Atunci de exemplu 0,6,12 formeaza un triunghi echilateral.
Diametrul din A este (0,9).
Punctele B,C le plasez astfel:
B = 14
C = 8

Inaltimea din A pe BC, AD, taie cercul in punctul 13, deoarece
( masura arcului (13,14) + masura arcului (0,8) ) / 2
este
10+80 = 90 de grade.

Fie F punctul in care (0,12) taie BC = (14,8) .
Atunci AD este atat inaltime cat si bisectoare in ABF, deci

2 BD = BF .

Ramane sa demonstram ca BF = CE.

Din cauza simetriei fata de diametrul (0,9), dreptele / coardele
BC = (8,14) si
(18-8,18-14) = (10,4) se intersecteaza pe diametru, deci in E !

Atunci BF = CE rezulta din simetria fata de diametrul (11,2) !
BC = (14,8) = (11+3,11-3) este o coarda perpendiculara pe acest diametru, simetrica fata de el.

Daca intersectam cu BC coardele
(12,0) = (11+1,2-2) si
(10,4) = (11-1,2+2)
simetrice fata de (11,2) desigur ca dam de delimitari egale.

Gata...

Desigur, puiteam sa dau o solutie mai scurta, ascunzand multe puncte din cele de mai sus, dar ar fi fost contra eticii si esteticii...