Gasiti ecuatia dreptei tangente la intersectia dintre suprafata z=arctg(xy) cu planul x=2 in punctul (2, 1/2, pi/4).

Intersectia suprafetei z=arctg(xy) cu planul x=2 este curba z=arctg(2y).
Notez f(x,y)=arctg(xy).
Panta tangentei la curba z=arctg(2y) in punctul (x_0,y_0)=(2, 1/2) este derivata partiala a lui f in raport cu y calculata in punctul (x_0,y_0), deci este egala cu 1.
Stim ca aceasta tangenta se afla in planul x=2.
Ecuatia unei drepte in IR^3 este determinata daca stim un punct P_0(x_0,y_0,z_0) al dreptei si un vector v(v_1,v_2,v_3) paralel cu dreapta.
Avem P_0(2, 1/2, pi/4) punct al tangentei.

Cum gasesc v=vector paralel cu tangenta stiind ca panta tangentei in planul x=2 la curba z=arctg(2y) in pct-ul (2, 1/2) este 1?

[Citat] ... Intersectia suprafetei z=arctg(xy) cu planul x=2 ...

este curba parametrizabila prin

y -> ( 2, y, arctg(2y) ) .

Derivata ei (pe componente, dupa y), luata in punctul y=? ce corespunde punctului dat... ne da un vector tangent la curba.
(Daca luam o parametrizare mai "rapida" dadeam de un vector de modul mai mare, dar cu aceeasi directie.)

Multumesc!

Asadar rezolvarea completa ar fi urmatoarea:
Un vector tangent la curba in punctul P se obtine derivand in raport cu y tripletul (2,y,arctg2y) si apoi evaluand in punctul y=1/2.
Obtin v=(0,1,1) vector tangent la curba in punctul P (deci vector paralel cu tangenta).
Ecuatia tangentei va fi data de x=2 si (y- 1/2)/v_2 = (z- pi/4)/v_3=t
Deci ec tangentei e data de sistemul:
x=2, y=t+ 1/2, z=pi/4 +t

(Fie P(0)=P.)
Merge direct daca il stim pe v,
ecuatia parametrica este data de punctele P(t) de forma
P(t) = P(0) +tv = (2, 1/2, pi/4) + t (0,1,1) .

Ultima scriere este cea pe care o prefer. (Cu vectori coloana in loc de vectori linie.)

Deoarece:
Daca P(0)=(x_0,y_0,z_0) punct al dreptel d si v=(v_1,v_2,v_3) vector paralel cu d atunci un punct P(t)=(x(t),y(t),z(t)) apartine lui d daca si numai daca vectorul P(0)P(t)=(x(t)-x_0, y(t)-y_0, z(t)-z_0) este multiplu scalar al lui v, deci este de forma tv, ceea ce conduce la P(t)=P(0)+tv.