| Autor |
Mesaj |
|
|
Sa se gaseasca functiile f,g:Z->Z pentru care g(0)=0 si:
, oricare ar fi m,n intregi.
|
|
|
[Citat]
Sa se gaseasca functiile f,g: ZZ ->ZZ pentru care
g(0)=0 si
mf(m) + 2f(mn) + nf(n) = (m+n)g(m+n)
oricare ar fi m,n intregi. |
Luam m=n=0 si dam de f(0) = 0 .
Luam m=0 si dam de nf(n) = ng(n) . Dam de f(n) = g(n) pentru n nenul, deci pentru orice n.
Obtinem ecuatia functionala in f:
mf(m) + 2f(mn) + nf(n) = (m+n)f(m+n)
oricare ar fi m,n intregi.
Vedem ca f(x) = Ax este o solutie. De aceea luam functia ajutatoare h definita de:
A = f(1) si
h(x) = f(x) - Ax , x in ZZ .
Ecuatia de mai sus devine atunci
h(0) = h(1) = 0 si
mh(m) + 2h(mn) + nh(n) = (m+n)h(m+n)
oricare ar fi m,n intregi.
Il fac pe m=1 si dau de
h(1) + 2h(n) + nh(n) = (n+1)h(n+1)
Plecand cu h(1) = 0, rezulta (luand n=1) h(2)=0, apoi (luand n=2) h(3) = 0 si inductiv h(n) = 0 pentru n natural >0 .
pentru m=1 si n=-1 dam de h(1)+h(-1) = 0, deci h(-1) = 0 .
Il fac pe m=-1 in ecuatia functionala cu m,n de mai sus si dau de
h(-1) + 2h(-n) + nh(n) = (n-1)h(n-1)
Plecand cu h(-1) = 0, rezulta (luand n=-1) h(-2)=0, apoi (luand n=-2) h(-3) = 0 si inductiv h(-n) = 0 pentru n natural >0 .
Am aratat astfel ca singurele solutii sunt parametrizate de un intreg A,
fixandu-l asociem f=g : ZZ -> ZZ, f(n) = An .
---
df (gauss)
|
Access general
Conţine mesaje necitite
